3. Производная суммы, произведения и частного от деления двух функций

Используем свойства предела для доказательства правил дифференцирования.

1.

. (1)

2.

. (2)

3.

(3)

4.

(4)

4. Производная сложной и обратной функций.

Пусть функция в некоторой окрестности точкиявляется непрерывной, монотонной, а в самой точке- дифференцируемой. Тогда по теореме о непрерывных функциях она имеет обратную. Найдем связь между производными прямой и обратной функций

. (1)

Формулу (1) следует понимать так, что производные в ее левой и правой части вычисляются при значениях аргументов, связанных между собой соотношениями или.

Определение.Сложнойназывается функция, которая зависит от своего аргумента, таким образом, что эту зависимость можно представить посредством как минимум одного промежуточного аргумента.

Например, пусть и. Тогда- сложная функция с промежуточным аргументоми независимым аргументом.

Теорема. Если функцияимеет производнуюв точке, а функцияимеет производнуюв точке, соответствующей точке, то сложная функцияимеет производнуюв точке, которая находится по формуле

. (2)

Доказательство

В окрестности точки дадим приращениеаргументу. Тогда промежуточный аргументполучит приращение, а функция- приращение.

.

Поскольку в силу существования производной функцияявляется непрерывной в рассматриваемой точке, то приследует, что. Тогда продолжая выкладки, получаем

.

5. Таблица производных

Получим сейчас формулы для дифференцирования основных элементарных функций. Знание этих формул совместно с ранее полученными правилами дифференцирования позволит нам выполнять дифференцирование элементарных функций.

1. Пусть . Применяя формулу (1) получим

. (1)

2. Пусть . Тогда

. (2)

3. Получим производную степенной функции с вещественным показателем степени. При этом воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин.

. (3)

В частном случае, когда = целое число

. (4)

4. Для получения формулы дифференцирования показательной функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин

. (5)

В частном случае, когда

. (6)

5. Для получения формулы дифференцирования логарифмической функции (также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин. В результате получим

. (1)

В частном случае, когда

. (2)

Перейдем теперь к вычислению производных тригонометрических функций.

6. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

. (9)

7. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

. (10)

8. Найдем производную функции . Пользуясь правилами дифференцирования, получим

. (11)

9. Найдем производную функции . Пользуясь правилом дифференцирования частного от деления двух функций, получим

. (12)

10. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (9), получим

. (13)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке.

11. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (10), получим

. (14)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке.

12. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (11), получим

. (15)

13. Найдем производную функции , где, а. Очевидно, тогда пользуясь формулами (3.1) и (12), получим

. (16)

14. Так как гиперболический синус определяется соотношением

, то

. (17)

15. Так как гиперболический косинус определяется соотношением

, то

. (18)

Графики гиперболического синуса и косинуса представлены на рис. 1.

Рис. 1. Синус и косинус гиперболические¹

16. Так как гиперболический тангенс определяется соотношением

, то

. (19)

17. Так как гиперболический котангенс определяется соотношением

, то

. (20) Графики гиперболического тангенса и котангенса представлены на рис. 2.

Рис. 2. Тангенс и котангенс гиперболические²

Результаты вычисления производных представлены в таблице.

Таблица