Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тетрадь Вычисление неопределенного интеграла

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

175.65 Кб

Скачать

☆

Вычисление неопределенного интеграла

Способ подстановки (замены переменной).

Пример.
∫(2x +1)20dx ={2x +1 =t; dt = 2dx;} = ∫t20				1	dt =		1	1		t21 +C =			t21	+C =				(2x +1)21			+C
∫(2x +1)20dx ={2x +1 =t; dt = 2dx;} = ∫t20			2		dt =		2	21		t21 +C =				+C =				42			+C
			2				2	21				42						42
Пример.
	cos xdx = dt					t	1				3				3				3
∫ sin x cos xdx =	cos xdx = dt	= ∫ tdt =∫t	1			t	2 +1				t 2				3	3			3		3
			2 dt =						+C =			+C =				t 2	+C =			sin 2		x +C
			2 dt =			1			+C =		3	+C =			2	t 2	+C =		2	sin 2		x +C
	sin x = t					1	+1				3				2				2
						2	+1				2

Пример.

∫ecos2 x sin 2xdx ={d (cos2 x) = −2 cos x sin x = −sin 2xdx;} = −∫ecos2 xd (cos2 x) = −ecos2 x +C.

Пример.

∫

= 2∫

2∫

x =

dx;

dx =

= 2 arctg

+C.

(x +1) x

(

x )

( x )

2 x

+1 2

Пример.

∫

= ∫

4dx

={d 2x = 2dx} = 2∫

2dx

= 2∫

d 2

= −2ctg2x +C .

sin

x cos

sin

Пример.

∫

cos

dx = ∫sin−3/ 2

x cos xdx ={sin x = t;

dt = cos xdx} = ∫t−3/ 2dt = −2t−1/ 2 +C =

sin

= −2sin −1 / 2 x +C = −

+C.

sin x

Пример.

∫x(x2 +1)3/ 2 dx ={d (x2 +1) = 2xdx} =

∫(x2

+1)3/ 2 2xdx =

∫(x2

+1)3/ 2 d(x2 +1) =

1 (x

+1)2

+С =

(x2

+1)2 +С

Интегрирование по частям.

Пример.

Вычисление неопределенного интеграла

u = ln x;

dv = xdx;

ln x

x ln xdx =

ln x −

dx =

−

xdx =

−

+C.

∫

1 dx;

∫ 2

2 ∫

du =

;

Пример.

ln x

= ln x; dv =

dx;

ln x

∫

dx =

= −

−∫ −

dx = −

∫

du =

dx;

= −

;

ln x

−2

ln x

+C.

= −

2 +

−

= −

−

Пример.

∫x2 sin xdx =

;

= 2xdx;

= −x2 cos x + ∫cos x 2xdx = −x2 cos x +2∫x cos xdx =

u = x

dv = sin xdx;

v = −cos x

u = x;

du = dx;

= −x

cos x +

= −x

cos x +2x sin x +2 cos x +C.

= cos xdx;

2 x sin x −∫sin xdx

v = sin x

Пример.

∫e2 x cos xdx =

2 x

;

du = 2e

2 x

dx;

= e2 x sin x − ∫sin x

2e2 x dx =

u = e

dv = cos xdx;

v = sin x

u = e2 x ; du = 2e2 x dx;

= e

2 x

sin x −2

2 x

cos x +∫cos x 2e

2 x

−e

= sin xdx;

v = −cos x;

Итак, получено:

= e2 x sin x +2e2 x cos x −4∫cos xe2 xdx = ∫e2 x cos xdx =e2 x sin x +2e2 x cos x −4∫cos xe2 xdx; =

∫

тогда имеем:

e2 x cos xdx = e2 x (sin x +2 cos x)

e2 x (sin x +2 cos x) +C

Пример.

∫cos(ln x)dx ={ln x = t;

x = et ;

dx = et dt} = ∫et

costdt =

dt;

u = cos t;

= e

cos t

∫

sin tdt =

u = sin t;

dv = e

du = −sin tdt;

v = et ;

= cos tdt; v = et ;

Вычисление неопределенного интеграла

∫et cos tdt = et (cos t +sin t) −∫et

Итого

cos tdt,

= e

cos t +e

sin t

−∫e

cos tdt =

(cos t

+sin t)

откуда: 2∫e

cos tdt = e

∫et cos tdt =

et (cos t +sin t)

et (cos t +sin t) =

eln x (cos ln x +sin ln x) =

(cos(ln x) +sin(ln x)) +C

Пример.

= x

; dv = e

5 x

dx;

5 x

∫x

−∫

2xdx =

−

∫xe

dx =

2xdx;

v =

5 x

du =

;

5 x

dx;

x2e5 x

xe5 x

x2e5 x

2xe5 x

u = x; dv = e

∫e

5 x

∫e

5 x

−

dx =

5 x

du = dx; v =

;

x2e5 x

2xe5 x

2e5 x

e5 x

−

+C =

−

+C.

125

Интегрирование элементарных дробей.

Пример.

x −3

+C.

arctg

∫x2 −

6x +

∫(x

−3)2 +16

∫(x −3)2 +42

Пример.

∫

= ∫

d(x +1)

(

)

(

)

−x −2x +8

8 −

+2x

8 −

9 −(x +1)

+2x +1−1

= ∫

d (x +1)

= arcsin

x +1

+C.

32 −(x +1)

Пример.

∫

5x −3

dx = ∫

5x −3

x +3 = t;

dx = dt;

= ∫

5(t −3)−3

dt = 5∫

tdt

dx =

−

6x −

(x +3)

−49

−

−49

x = t

−18∫

t2 −49

−

t −7

+C =

+6x −40

−

x −4

+C.

−49

t +7

x +10

Пример.

Вычисление неопределенного интеграла

∫

3x +4

dx = ∫

3x +4

x −3

=t;

dx = dt;

= ∫

3(t +3)+4

dt =3∫

tdt

dx =

+3;

− x

+6x

16 −(x −3)

16 −t

x =t

+13∫									dt						= −3 16 −t2												+13arcsin												t					+C = −3											7 − x2 −6x											+13arcsin								x −3					+C.
+13∫								16 −t						2	= −3 16 −t2												+13arcsin																	+C = −3											7 − x2 −6x											+13arcsin													+C.
								16 −t																															4																																					4
Пример.																				(3x						−5x +4) =(6x −5)dx
						7x −2																			2
	∫					7x −2									dx =			d																																																																					=
																												7																	7																			7									35								7					23
		3x				2	−5x +						4								−2 =							7			(6x)−2 =														7		(6x −5								+5)−2 =									7		(6x −5)+							35				−2 =				7	(6x −5)+				23
		3x					−5x +						4					7x			−2 =							6			(6x)−2 =														6		(6x −5								+5)−2 =									6		(6x −5)+							6				−2 =				6	(6x −5)+				6
					7 (6x −5)+ 23																							6																	6																			6									6								6					6
					7 (6x −5)+ 23																	7					(6x −								5)dx											23									dx
= ∫				6												6		dx =				7			∫		(6x −								5)dx							+				23			∫						dx							=
= ∫							3x		2									dx =				6			∫		3x		2			−5x +4										+				6			∫			3x		2	−5x +					4		=
							3x			−5x +4												6					3x					−5x +4														6						3x			−5x +					4
7			∫		dx (3x2 −5x +4)														=		7					(3x					2		−5x +4).
6																					6 ln
6							3x2 −5x +4														6 ln
																					2	−5x +4 =3																x	2				−			5		x		+			4							2	−2x					5			+	5		2	−		5			2			4
																		3x				−5x +4 =3																x					−					x		+					=3 x						−2x								+				−							+			=
23										dx																																				3																																			3
23										dx																																				3							3													6 6									6						3
																	=																																																																				=
	6 ∫3x2 −5x +4																=												5			2				25									48													5		2					23																				=
	6 ∫3x2 −5x +4																												5			2				25									48													5		2					23
																		=3						x −											−					+											=3				x		−						+
																		=3						x −					6						−	36				+					36						=3				x		−	6					+		36
																													6							36									36													6							36

		23													dx											23																	dx														23						1								x −		5							23				6x −5
=		23					∫								dx								=			23				∫													dx													=	23						1								x −		6			=				23				6x −5
																																																																		arctg															arctg				23 .
		6										x		−	5	2		+	23							18											5 2														23 2						18							23		arctg						23								3	arctg				23 .
								3																									x −											+


																			36																		6													6													6									6
															6				36																		6													6													6									6
=		7			ln (3x						2	−5x +4)+										23				arctg								6x −5							+С .
=			6		ln (3x							−5x +4)+										3				arctg									23						+С .
																													Интегрирование рациональных дробей.
Пример.
	∫	9x3 −30x2 + 28x −88																				dx
	∫		(x2 −6x +8)(x2															+ 4)				dx
Т.к.							(x2 −6x +8) = (x −2)(x −4) , то
	9x3 −30x2 +28x −88																			=		9x3 −30x2 +28x −88																													=				A		+			B					+		Cx + D
	(x2 −6x +8)(x2 +																	4)		=			(x			−2)(x −4)(x2 +4)																									=			x	−2		+		x −				4		+			x2 +4
	(x2 −6x +8)(x2 +																	4)					(x			−2)(x −4)(x2 +4)																												x	−2				x −				4					x2 +4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

9x3 −30x2 +28x −88 = A(x −4)(x2 +4) + B(x −2)(x2 +4) +(Cx + D)(x2 −6x +8) 9x3 −30x2 +28x −88 =

= ( A + B +C)x3 +(−4 A −2B −6C + D)x2 +(4 A +4B +8C −6D)x +(−16 A −8B +8D)

Вычисление неопределенного интеграла

A + B +C = 9

C = 9 − A − B

= −30 + 4 A +

2B +54 −6 A −6B

−4 A −2B −6C + D = −30

+ 4B +8C −6D = 28

4 A

2 A + 2B + 4C −3D =14

−16A −8B +8D = −88

2 A + B − D =11

C = 9 − A − B

24 −2A −4B

D = 24 −2A −4B

+ 2B +36 −4 A −4B −72 +6 A +12B =

+10B = 50

2 A

4 A

+ B −24 + 2 A + 4B =11

+5B = 35

2 A

4 A

C = 9 − A − B

A = 5

24 −2A −4B

D = 24 −2A −4B

+10B = 50

4 A

50 −10B +5B = 35

B = 3

D =

9x3 −30x2 +28x −88

x +2

(x −2)(x −4)(x2 +

x −2

x −4

Итого:

9x3 −30x2 +28x −88

x +2

∫

dx = ∫

∫

dx +

∫

dx + ∫

dx =

−6x +8)(x

+4)

−4

x −2

−4

x −

=5ln

x −2

+3ln

x −4

+∫

dx +∫

dx =

=5ln

x −2

+3ln

x −4

ln(x

2 +4)

+arctg

+C .

Пример.

∫

6x5 −8x4 − 25x3 + 20x2 −76x −

3x3 − 4x2 −17x + 6

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2

– 76x – 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2

−25x −25

20x2 – 25x – 25

4x2 −5x

−5

∫

3 +

3x3

−4x2 −17x +6

dx =

∫

dx +

∫

3dx +5

∫3x3 −4x2 −17x +

dx =

3x +5∫

4x2 −5x −5

−4x

−17x

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:


Вычисление неопределенного интеграла					6
	3x3 – 4x2 – 17x + 6					x - 3
	3x3 – 4x2 – 17x + 6					x - 3
	3x3 – 9x2					3x2 + 5x - 2
		5x2 –	17x
		5x2 – 15x
			- 2x + 6
			-2x + 6
				0
				0

Таким образом, 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2), а 3x2 +5x −2 = (x +2)(3x −1), Тогда: 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(x + 2)(3x – 1).

4x2 −5x −5	=	A		+	B		+	C	,
(x −3)(x +2)(3x −1)		x −	3		x +	2		3x −1

4x2 −5x −5 = A(x +2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x +2)

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40A =16

A = 2 / 5

35B = 21

B = 3 / 5

C =1

Окончательно получаем:

∫

6x5

−8x4 −25x3 + 20x2 −76x −7

dx =

+3x +3∫

+ 2∫

+5∫

−

−17x +6

x +

x −

3x −1

2 x3 +3x +3ln

x + 2

+ 2 ln

x −3

5 ln

3x −1

+C.

Пример.

∫

3x4

+14x2

+7x +15

dx = ∫

dx + ∫

Bx +C

dx + ∫

Dx + E

(x +3)(x

+ 2)

x +

+ 2

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2

+ 2)2 +(Bx +C)(x +3) +(Dx + E)(x +3)(x2

+ 2) = 3x4

+14x2

+7x +15

Ax4 + 4 Ax2 + 4 A + Bx2 +3Bx +Cx +3C + Dx4 + 2Dx2 +3Dx3 +6Dx + Ex3 + 2Ex +3Ex2 +6E =

= (D + A)x4 +(3D + E)x3 +( A + B + 2D +3E + 4 A)x2 +(3B +C +6D + 2E)x +(2 A +3C +6E + 4 A)

D + A = 3		D = 3 − A

3D + E = 0		E = −9 +3A
	=14		+9 A + 4 A =14
B + 2D +3E + 4 A	=14	B +6 −2 A −27	+9 A + 4 A =14
3B +C +6D + 2E = 7		3B +C +18 −6 A −18 +6A = 7

3C +6E + 4A =15		3C −54 +18A + 4 A =15

Вычисление неопределенного интеграла

D = 3 − A

E = −9 +3A

B +11A = 35

3B +C = 7

3C + 22A = 69

D = 3 − A

E = −9 +3A

11A = 35 − B

C = 7 −3B

21 −9B +70 −2B = 69

A = 3B = 2C =1

D = 0E = 0

Тогда значение заданного интеграла:

3∫

∫

2x +1

dx = 3∫

+ 2∫

dx + ∫

= 3ln

x +

−

x +

+ 2)

x +

+ 2)

arctg

+C.

4(x2

+ 2)

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Пример.

t = tg

2 tg

1−tg

∫

= sin x

, cos x =

1−t

= 2 arctg t,

4sin x +3cos x +5

2 x

1+tg

1+t

2dt

dx =

2dt

1+t2

= ∫

1+t2

= 2∫

= ∫

1−t

8t +3 −3t

+5 +5t

+8t +8

+4t +4

(t +

1+t2

+t2

= −

+C = −

+C.

Пример.

2dt

∫

= ∫

1+t2

= 2∫

2∫

arctg

9 +8cos x

+sin x

−t

+2t +17

+1)

+16

9 +8

+t2

1 arctg

+C.

Пример.

cos7

xdx

cos6 x

cos xdx = dt

−t

2 )3

1−3t2 +3t4 −t6

∫

= ∫

∫

dt = ∫

cos xdx

sin x =t

dt =

sin

x =1−sin

cos

Вычисление неопределенного интеграла

= ∫

−3∫

+3∫dt −∫t2dt = −

+3t −

t3 = −

+3sin x −

sin3 x

+C.

3sin

sin x

Пример.

∫

sin

3 x

= ∫

sin2 x

sin xdx =

cos x

= −∫

1−t2

∫

−1

dt =

2 +cos x

= −sin xdx

−1

=t −2 +

= −2∫dt +∫tdt +3∫

= −2t +

+3ln

t +2

cos2 x

−2 cos x

+3ln

cos x +2

+C.

Пример.

∫

= ∫

cos

= ∫

cos

dx =

sin

x +6sin x cos x −16 cos

sin

sin x cos x

−16

cos

x +6 tg x −16

cos2

cos2 x

tg x =t;

t +3 −5

tg x −

∫

=∫

+6t −16

t +3 +5

tg x +

(tg x) = dt =

+3)

−25

cos

Пример.

∫sin 7x sin 2xdx = sin αsin β =

[cos(α−β) −cos(α+β)]

∫cos 5xdx −

∫cos 9xdx =

sin 5x −

sin 9x +C

Пример.

∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x (cos 7x cos 4x)dx =

cos

αcos β =

[cos(α+β) +cos(α−β)]

=∫sin10x 12 (cos11x +cos 3x)dx = 12 ∫sin10x cos11xdx + 12 ∫sin10x cos 3xdx =

=sin αcos β = 1 [sin(α+β) +sin(α−β)] = 1 ∫1 (sin 21x −sin x)dx + 1 ∫1 (sin13x +sin 7x)dx =2 2 2 2 2

=	1	∫sin 21xdx −							1	∫sin xdx + 1			∫sin13xdx + 1							∫sin 7xdx = −			1	cos 21x −			1 cos x −		1	cos13x −
=	4	∫sin 21xdx −							4	∫sin xdx + 1			∫sin13xdx + 1							∫sin 7xdx = −			84	cos 21x −			1 cos x −		52	cos13x −
	4								4			4							4				84				4		52
−	1		cos 7x +C.
−	28		cos 7x +C.
	28
Пример.
			4					4				1−cos 2x		2		1					2				1
∫sin			4					4				1−cos 2x				1	(1				2	2x) =			1			1+cos 4x
				xdx =			sin		x =						=			−2 cos 2x +cos								1−2 cos 2x +					=
				xdx =			sin		x =			2			=	4		−2 cos 2x +cos								1−2 cos 2x +			2		=
												2				4									4				2

	1	∫		3							1				3	∫			1			1
	4	∫			2						2				8	∫			2 ∫			8 ∫
=						−2 cos 2x +						cos 4x dx =					dx	−		cos 2xdx +			cos 4xdx =

Вычисление неопределенного интеграла

= 83 x − 14 sin 2x + 321 sin 4x +C.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Пример.

x =sin t;

cos tdt

∫

= tg t ={t

= arcsin x} = tg (arcsin x)+C.

= dx = cos tdt;

(1− x

)

3/ 2

cos

= 1− x2

cos t

Пример.

∫

={4 1−2x = t; 1−2x = t4 ; −2dx = 4t3dt;}= ∫

(−2t3 )dt = −2∫

t2dt

−2x −

1−2x

t −1

−t

−1+1

t2 −1

= t +1+

= −2∫ t

+1+

= −2∫tdt −2∫dt −2∫

−1

t −1

−1

t −1

−1

= −t2 −2t −2 ln

t −1

+C = − 1−2x −2 4 1−2x −2 ln

4 1−2x −1

+C .

Пример.

;

−1

= tg t;

sin t

sin t cos

cos t

cos

∫

= ∫

dt =

∫

dt =

∫cos tdt =

−1

sin t

cos

t sin t

tg t

dx =

dt;

cos3 t

cos

= ∫

1+cos 2t

∫dt +

∫cos 2tdt =

dt =

t +

sin 2t

= cos t

; t = arccos

=	1		1	+	1			1	+C.
		arccos				sin 2	arccos
	2		x		4			x

Пример.
		x −1	+		x −1		x −1 =t; x −1 =t		;
∫	3			4			12	12
							dx =			=
		(			x −1	)	dx =			=
		(				)
	(x −1) 1+ 6						dx =12t11dt;

∫

t4 +t3

12t

dt =12∫

t3 +t2

dt =

)

t3 +t2

t2 +1

=t +1−

t2 +1

t3 +t

t +1

t2 −t

t2 +1

−t −1

t +1

tdt

=12∫ t

+1−

dt =12∫tdt +12∫dt −12∫

−12∫

+12t −6 ln(t

+1)

−12 arctg t =

= 66 x −1 +1212 x −1 −6 ln( 6 x −1 +1) −12 arctg 12 x −1 +C.

Вычисление неопределенного интеграла

Пример:

x = a tg t;

a2 + x

2 =

;

cos tdt

cos

tdt

cos t

∫

= ∫

cos

∫

+ x

t cos

sin

dx =

dt;

cos t

cos

cos2 t d (sin t )

cos2 t cos tdt

1−sin

2 t

(sin t ) =

∫

−

sin

−4

−2

∫

d (sin t )−∫

d (sin t )

∫(sin t )

d (sin t )

−

∫(sin t )

d (sin t ) =

sin

−3

−1

−3

−1

= −

sin

t +

sin

+C =

tg t =

;

t = arctg

= −

sin

arctg

sin

arctg

+C.

3a4

Пример:

x =

;

dx =

2sin

dt;

2sin2

t dt

2 sin t cos

tdt

∫

cos t

cos

= ∫

cos

=∫

∫ctg

tdt =

x(x

−

5 / 2

sin t

cos

sin

−4 =

;

cos t

∫y

∫

ctg t = y;

t = arc ctg y;

dt = −

= −

dy =

+ y

1+ y

+ y

y −1+1

(

)(

)

(

−

)(

−1 y

1 y

= y −1+

1+ y2

∫

∫y

∫dy −

∫

= −

−1+

dy = −

dy +

= −

y +

arc ctg y +C =

+ y

(ctg t )

arc ctg (ctg t )+C =

= −

ctg t −

cos t =

;

t = arccos

= −

+C.

ctg

arccos

ctg

arccos

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.04.20151.12 Mб12Теория информационных процессов и систем.docx
#
02.04.20153.15 Mб20тест 5.doc
#
02.04.2015197.12 Кб340тест по пищевой химии.doc
#
02.04.2015292.86 Кб177тест по пищевой химии.doc
#
02.04.2015372.11 Кб50ТЕСТ-2.pdf
#
02.04.2015175.65 Кб41Тетрадь Вычисление неопределенного интеграла.pdf
#
02.04.201531.74 Кб82Титульник .doc
#
02.04.201541.98 Кб100титульник контрольной.doc
#
02.04.201557.86 Кб984титульник.doc
#
02.04.201552.74 Кб271Титульный КР .doc
#
02.04.201540.45 Кб340Титульный лист. Отчет по практике.doc