Математика, контрольная 1. Уч.пособ. 1 семестр
.pdf
|
|
|
|
−2 3 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
||||||||
y¢ = |
1 |
|
1- ln2 x |
|
1- ln2 x |
1 |
|
1- ln2 x |
−2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
´ |
|
|
1+ sin |
3 |
|
1+ sin |
3 |
|
|
1+ sin |
3 |
|
||||||||||
|
3 |
|
2x |
|
|
2x |
|
3 |
|
|
2x |
|
|
( |
- ln2 |
) |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
)( |
+ sin3 2x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
x ¢ |
1+ sin3 |
2x |
|
- |
1- ln2 x |
1 |
¢ |
|
1 |
|
|
|
|
1+ sin |
3 |
2x |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ sin3 |
2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
´ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- ln |
2 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(-2)ln x(ln x)¢ (1+ sin3 2x) - (1- ln2 |
x)3sin2 2x(sin 2x)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ sin3 2x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
2x |
|
|
2ln x(1 x) 1 |
+ sin |
2x |
|
+ |
1- ln |
x 6sin |
2x cos 2x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= - |
3 |
|
1+ sin |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ sin3 |
2x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
1- ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= (arcsin 4ln (3-x ) )6 .
y¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 (arcsin 4ln(3 - x) )¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 ´
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
(4 ln(3 - x) )¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 (ln (3 - x)) 4 (ln(3 - x))¢ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 6(arcsin 4 ln(3 - x) ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1-(4 ln (3 - x) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1- ln(3 - x) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
( |
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 6(arcsin 4 ln (3 - x) ) |
5 |
1 |
ln |
3 - x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(-1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 - x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(3 - x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Пример для задания в): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = (x3 - ln cos2 x)esin x |
. Используя формулу (27), найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
′ |
|
||||
|
3 |
− lncos |
2 |
x) |
esin x |
sin x |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
sin x (x |
− lncos x) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
y′ = (x |
|
|
|
|
|
(e |
|
|
) ln(x |
− lncos |
x) + e |
3 |
2 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− lncos |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(x3 − lncos2 x)esin x (esin x (sin x)′ ln(x3 − lncos2 x) + esin x ×
×3x2 − (1 cos2 x)(cos2 x)′ ) = (x3 − lncos2 x)esin x (esin x cos xln(x3 − lncos2 x) + x3 − lncos2 x
31
+esin x 3x2 +(2cos xsin xcos2 x)) =(x3 -lncos2 x)esin x esin x ´ x3 -lncos2 x
´(cos xln(x3 -lncos2 x) +(3x2 +(2tg x))(x3 -lncos2 x)).
Пример для задания г): ctg2 x + cos4 (ln yex ) - y5 2y = 0 .
Переменная y задана как неявная функция. Продифференцируем обе части равенства, считая y функцией от x .
|
2ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
3 ln y |
|
|
|
|
|
|
ln y ln y ¢ |
- (5y |
4 |
y¢2 |
y |
|
|
|
|
5 |
|
y |
|
|
|
|
|
× y¢) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
+ |
4cos |
|
|
|
|
|
|
|
-sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
2 |
|
ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x |
|
|
|
e |
x |
|
e |
x |
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- |
2ctg x |
- 4cos3 |
ln y |
sin |
ln y |
|
( y¢ y)ex |
- ex ln y |
- y¢y4 2y (5 + y ln 2) = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Объединив члены, содержащие y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 ln y |
|
|
ln y ln y |
|
2ctg x |
|
|
|
|
|
4 |
|
y |
(5 + yln2) + |
|
4 |
|
|
|
|
3 ln y |
|
|
ln y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4cos |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
= y¢ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
e |
x |
|
|
e |
x |
|
|
|
e |
x |
sin |
2 |
|
x |
|
|
ye |
x |
|
|
e |
x |
|
e |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ln y |
|
|
|
|
ln y ln y |
|
|
2ctgx |
|
|
4 y |
(5+ yln2) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 ln y |
ln y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y¢ = |
4cos |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
+ |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ye |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
ЗАДАНИЕ 8
Найти первую и вторую производные функции.
2
Пример. а): y = sin x . Найдем первую производную y′ :
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
2sin x × cos x × cos x - sin2 x ×(-sin x) |
= |
2sin x × cos2 |
x |
+ |
sin3 x |
= |
|
cos2 x |
cos2 x |
|
cos2 |
x |
||||
|
|
|
|
|
||||
= 2sin x + tg2 x ×sin x. Дифференцируя выражение для |
y′ , |
вычис- |
лим вторую производную y′′
= 2 cos x + tg2 x 2 + cos xcos x
: y¢¢ = 2cos x + 2tg x sin x + tg2 x ×cos x = cos2 x
= 3cos2 x + 2tg2 x
.
32
|
1 - t |
2 |
× e |
t |
б) x = |
|
. |
y = arcsin t
Функция задана параметрически. Вычислим
|
xt¢ = |
et × |
|
(-2t ) |
+ et |
|
|
|
|
= |
-et ×t + et (1 - t2 ) |
= |
|
et (1 - t - t2 ) |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 - t 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 - t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y¢ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 - t2 . Первая производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dy |
= |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
1 - t 2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
x¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - t |
|
|
|
e 1 - t - t |
|
|
|
|
e 1 - t - t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
e |
t |
1 - t - t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
d y |
|
|
|
|
|
|
|
y¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
t |
|
|
|
xt¢ = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
(1 - t - t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt¢ t |
|
) |
|
|
|
e |
|
|
|
) t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
(-1 - 2t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (t + 3) 1 - t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e 1 - t - t |
|
+ e |
|
|
|
|
|
1 - t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= - |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et (1 - t - t 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(et (1 - t - t 2 ))2 |
e2t (1 - t - t 2 )3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот же результат можно получить, если воспользоваться |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2 y |
|
yt¢¢xt¢ - xt¢¢yt¢ |
|||||||||||
для нахождения второй производной формулой |
¶x2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( xt¢)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычислив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(et (1-t -t2 ) + et (-2t -1)) |
|
|
- et (1-t -t2 ) ×(-2t ) (2 |
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x¢¢= |
|
1-t2 |
1-t2 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= et (1-t -t2 - 2t -1)(1-t2 ) + et (1-t -t2 )t = tet (t3 + 2t2 - 2t - 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-t2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-t2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-t2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
и yt¢¢= |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(1 - t 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 - t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
ЗАДАНИЕ 9
Исследовать функцию и построить ее график.
Пример. Рассмотрим функцию y = x3 .
2(x2 − 5)
1. Данная функция существует при всех значениях кроме точек, где знаменатель обращается в ноль x = ±5 . Поэтому областью определения функции являются все действительные числа, кроме чисел x = ±5 , а именно:
x (−∞; −5 ) U (−5; 5 ) U (5;∞) .
2. Данная функция |
y = |
x3 |
является нечетной, так как |
||||||
2(x2 − 5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(−x) = |
(−x)3 |
|
= |
−x3 |
|
= −y( x) . Функция непериодическая. |
|||
2((−x)2 −5) |
|
|
|||||||
|
|
2(x2 −5) |
|
|
3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого вычислим первую производную
′ |
( x) = |
3x2 |
(2x2 −10) − x3 2(2x) |
|
2x4 − 30x2 |
|
x2 (x2 −15) |
|
|
4(x2 − 5)2 |
= |
4(x2 − 5)2 = |
2(x2 − 5)2 . (28) |
||||
y |
|
Используем необходимый признак экстремума: если функция имеет экстремум в некоторой точке, то первая производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Из (28) найдем,
что первая производная равна нулю при x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 ; не существует при x = ±5 , но последние два значения не входят в область определения функции. Точки x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 разбивают область определения функции на интервалы
(−∞; −15 ); (−15; − 5 ); (−5; 0); (0; 5 ); (5; 15 ); (15; ∞) .
Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.
Найдем знак первой производной в каждом из интервалов.
34
Для этого возьмем любое значение переменой x из соответственного интервала и, подставим его в выражение для y′ и определим знак первой производной при выбранном значении x .
Так, в интервале (−∞; −15 ) y′( x) > 0 , значит, функция на этом интервале возрастает. В интервале (−15; − 5 ) y′( x) < 0 , т. е.
функция на этом интервале убывает и т. д.
Результаты исследования записаны в таблице 1. Здесь же даны выводы о том, является ли критическая точка экстремальной или нет при помощи достаточного признака экстре-
мума функции в критической точке по y′( x) . Из таблицы 1 видно, что при x = −15 функция достигает максимума ( ymax = y(−15) = −3154 ). Точка x = 15 является точкой минимума ( ymin = y(15) = 3154 ), так как при переходе через эту
критическую точку производная y′( x) |
меняет знак с « – » на « +». |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
(−∞; − 15 ) |
|
− 15 |
|
(− 15; − |
5 ) |
|
− 5 |
(− |
5; 0) |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′( x) |
|
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
Не |
|
- |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Продолжение таблицы 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(0; |
|
5 |
) |
|
5 |
|
|
( |
|
5; |
15 |
) |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
( |
|
15; |
∞) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
- |
|
|
|
|
Не сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Не сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
15 4 min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычисляя y′′( x) , найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба (таблица 2).
35
|
|
′ |
|
(4x |
3 |
− 30x)2(x |
2 |
− 5) |
2 |
− 4(x |
2 |
− 5)2x (x |
4 |
−15x |
2 |
) = |
||||||
y′′ = |
x4 −15x2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(2(x2 − 5)2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 (x2 − 5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4x (x2 − 5) (x2 − 5)(2x2 − 15) − 2x2 (x2 −15) |
|
5x (x2 + 15) |
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
4 |
(x2 − 5)4 |
|
|
|
|
|
(x2 − 5)3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y′′ = 0 при |
x = 0 , |
а при x = ± |
|
|
y′′ |
|
не су- |
|||||||||||||
|
Отсюда имеем |
|
5 |
|
ществует. Так как при x = ±5 и функция не существует, то стационарной точкой для второй производной является только x = 0 . Эта точка разбивает область определения функции на промежутки
(−∞; −5 ); (−5; 0); (0; 5 ); (5; ∞) .
Таблица 2
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞; − 5 ) |
− 5 |
(− |
5; 0) |
(0; 5 ) |
5 |
|
( 5; ∞) |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
y′′( x) |
- |
|
|
Не |
|
+ |
|
0 |
- |
|
|
Не |
+ |
|||||||
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
||||
y ( x) |
Ç |
|
|
Не |
|
È |
0 |
Ç |
|
|
Не |
È |
||||||||
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
Отсюда видно, что начало координат О (0; 0) – точка перегиба графика.
5. Найдем асимптоты графика функции: а) Вертикальные асимптоты.
Так как в данном случае функция имеет вид дроби, то из условия обращения в ноль знаменателя найдем вертикальные
асимптоты: x2 − 5 = 0, |
x = |
|
|
|
x = − |
|
. |
|
|
||||||||
5, |
5 |
Так |
как |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
lim |
|
x3 |
= lim |
|
x3 |
|
= ∞ , то по |
определению |
прямые |
||||||||
|
(x2 − 5) |
|
(x2 − 5) |
||||||||||||||
x→ |
5 |
2 |
x→− |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
x = −5 и x = 5 являются вертикальными асимптотами. б) Наклонные асимптоты ( y = k x + b ).
36
|
|
|
|
|
|
k = lim |
|
f (x) |
= lim |
|
|
|
|
x3 |
|
= lim |
|
|
|
x3 |
|
|
= 1 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − 5) |
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
x |
|
|
|
x→∞ x2 |
|
|
x→−∞ x2(x2 − |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim ( f (x) − kx) = lim |
|
|
|
|
|
− 1 x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x − |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
x3 − x3 + 5x |
|
= lim |
|
|
|
5x |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ 2 |
(x2 − 5) |
x→±∞ 2(x2 − 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = x 2 – |
|
наклонная асимптота графика функции. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6. Точкой пересечения графика функции с осями координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будет точка О(0;0), так как при x = 0 имеем y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким |
образом, |
|
функция |
возрастает |
|
на |
|
|
интервалах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−∞; − |
|
|
|
|
|
( |
|
∞) , |
|
|
|
|
|
|
|
(− |
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
15) и |
|
15; |
|
убывает на интервалах |
15; |
5) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является выпуклой при x (−∞; − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5; 0) , |
|
(0; |
|
5) , ( |
5; |
15) |
|
5) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(0; |
|
5) и вогнута при x (− 5;0) и ( |
5; ∞) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Строим график функции (рисунок 1), отметив вначале на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = ± |
|
|
|
, y = x 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости |
|
XOY |
асимптоты графика функции |
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ( − |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
экстремума |
|
|
функции |
|
|
|
15; |
15 4 ) |
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A ( |
15; 3 |
|
15 4 ), точку перегиба О(0;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 Чертеж к заданию 4.
37
ЗАДАНИЕ 10
Найти частные производные второго порядка функции z = f ( x, y ) .
|
|
|
|
Частной производной по |
|
x |
от функции |
|
z = f ( x, |
|
y ) |
|
назы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вается предел ¶z = lim |
Dx z ; аналогично |
¶z |
= lim |
|
Dy z |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
x→0 |
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
y→0 |
|
Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где Dx z |
и Dy z |
- соответственные частные приращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
При вычислении частных производных используют сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дующее правило: частная производная по x от z = f ( x, |
|
|
y ) |
|
равна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производной от |
f ( x, y ) , вычисленной |
|
|
в предположении, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только x является переменной, а |
y |
формально считается посто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
янной. Аналогично вычисляется и частная производная по y . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример. |
Дана функция |
|
|
|
z = x ln (x2 + y2 ) . |
|
|
Найдем произ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
водные первого порядка |
¶z |
и |
|
|
|
¶z |
. Считая y постоянной, полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чим |
¶z = x¢× ln (x2 + y2 ) + x (ln |
(x2 + y2 ))¢ = ln (x2 + y2 ) + x × |
|
|
|
2x |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Считая x постоянной, вычислим |
¶z |
= x (ln (x2 + y2 ))¢ = x |
|
|
|
2 y |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶y |
|
x |
2 |
|
+ y |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Подобным образом найдем производные второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
¶2 z |
|
¶ |
|
|
¶z |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
¢ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
¢ |
|
|
2x2 |
|
|
|
¢ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
ln(x |
|
+ y |
|
) + x × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(ln(x |
|
+ y |
|
)) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
¶x |
|
|
|
x |
2 |
|
+ y |
2 |
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶x |
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
(2x2 )¢ × |
(x2 + y2 ) -2x2 ×(x2 + y2 )¢ |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4x(x2 + y2 ) -2x2 ×2x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
4xy2 |
|
|
2x(x2 +3y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
x2 + y2 |
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
|
|
¶2 z |
|
|
¶ |
|
|
¶z |
|
|
|
|
2 yx |
|
|
¢ |
|
( |
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
¶y |
2 |
|
|
|
¶y |
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
2x (x2 + y2 ) - 2xy × 2 y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
¶2 z |
|
|
¶ |
|
¶z |
|
¶ |
¶z |
|
2yx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||
|
¶x¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
¶x |
¶y |
|
¶y |
¶x |
x |
+ y |
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
2y(x2 + y2 ) -2xy ×2x |
= |
2y3 -2yx2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
2xy )¢ ×(x2 + y2 ) - 2xy × (x2 + y2 )¢ |
= |
|||||||
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
2x3 - 2xy2 |
|
2x (x2 - y2 ) |
|
||||
= |
|
= |
|
. |
|
|||
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
|
||||||
¢ |
= |
(2xy)¢ ×(x2 |
+ y2 ) -2xy ×(x2 + y2 )¢ |
|||||
|
|
|
(x2 + y2 ) |
2 |
|
= |
||
x |
|
|
|
|
|
|
=2y( y2 - x2 ).
(x2 + y2 )2
ЗАДАНИЕ 11
Пусть задана функция трех переменных u = u(x, y, z) . В трехмерном пространстве (x, y, z) существуют точки, в которых функция u принимает одинаковое значение, которое обозначим через u0 :
u(x, y, z) = u0 . |
(29) |
С геометрической точки зрения (29) – уравнение некоторой поверхности, которую принято называть поверхностью уровня. Если величину u0 изменять, то из (29) будем иметь семейство по-
верхностей уровня. Пусть функция u(x, y, z) однозначная. Тогда
две различные поверхности уровня не будут пересекаться. Поверхности уровня обладают и еще одним свойством, для чего надо ввести понятие вектора – градиента:
|
¶u |
, |
¶u |
, |
¶u |
(30) |
grad u = |
¶x |
¶y |
. |
|||
|
|
|
¶z |
|
Оказывается, вектор grad u , вычисленный в точке поверхности уровня, всегда направлен по нормали к этой поверхности.
39
Вектор grad u удобно использовать при вычислении производной от некоторой функции υ = υ (x, y, z) по заданному направлению вдоль единичного вектора τ (m, n, p) , где
τ = m2 + n2 + p2 =1.
Формула для вычисления производной по заданному направлению имеет вид скалярного произведения единичного вектора τ на вектор gradυ , вычисленного в некоторой точке
M (x0 , y0 , z0 ) , координаты которой должны быть заданы:
¶υ = τ |
× gradυ = m |
¶υ + n |
¶υ + p |
¶υ . |
(31) |
||
¶τ |
¶x |
¶y |
¶z |
|
|||
Пример. Вычислить производную функции υ |
в точке |
||||||
|
|
|
|
|
|||
M (x0 , y0 , z0 ) по направлению вектора MM1 . |
|
|
|||||
Пусть υ = a0 + a1 x + b1 y + c1 z + d1 xk1 |
+ d2 xyk2 + d3 xzk3 |
(32) |
Возьмем a0 =1, a1 = b1 = c1 = 2, d1 = d2 = d3 = 3, k1 = k2 = k3 = 4,
M (0, 1, - 2), M1 (2, 3, 2) .
а) Найдем координаты вектора gradυ в точке М. Для этого:
1)Запишем конкретный вид для υ :
υ=1 + 2(x + y + z) + 3(x4 + x y4 + x z4 ) .
2)Вычислим частные производные
¶υ = 2 +12x3 + 3y4 + 3z4 ; ¶υ = 2 +12xy3 ; |
¶υ = 2 +12xz3 . |
|
|||||||
¶x |
|
|
¶y |
|
|
¶z |
|
|
|
|
3) В точке M (0;1; − 2) |
они принимают значения |
|
||||||
¶υ |
3 |
4 |
4 |
¶υ |
3 |
¶υ |
3 |
|
|
¶x |
=2+12×0 |
+3×1 |
+3(-2) =53 |
; ¶y =2+12×0×1 =2; |
¶y |
=2+12×0×(-2) |
=2. |
||
|
Поэтому вектор gradυ в данной точке M имеет вид |
|
|||||||
|
|
|
gradυ = (53; 2; 2) . |
|
|
(33) |
|||
|
б) Найдем единичный вектор τ |
(m, n, p) , имеющей направ- |
ление MM1 .
1) Вектор MM1 имеет координаты
MM1 = {x1 - x0 ; y1 - y0 ; z1 - z0} = {2 - 0; 3 -1; 2 - (-2)} =
40