Математика.контрольная 2 Уч.пособие. 2 семестр
.pdfπ |
tg |
2 |
|
b |
tg |
2 |
|
b |
||
2 |
|
x |
|
|
x |
|
||||
∫ |
|
dx = lim ∫ |
|
dx = lim ∫ tg2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
0 |
cos |
x |
b→π |
2 0 cos |
x |
b→π |
2 0 |
Замечание: когда b → π , то
2
Поэтому получаем, что интеграл расходится.
|
|
|
tg3 x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3 b |
|
tg3 0 |
|
tg3 b |
|
|||
xd (tg x) = lim |
|
|
= lim |
|
− |
|
|
= lim |
|
. |
||
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||
|
|
b→∞ |
|
b→∞ |
|
|
b→∞ |
|
||||
tg3 b → ∞ . |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1∫ |
|
dx = ∞ , а это значит, что данный |
|
|||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
1 |
e |
x |
|
|||||
|
|
|
||||||
Пример 12. Вычислить интеграл от разрывной функции ∫ |
|
|
dx |
или |
||||
|
|
2 |
||||||
−1 |
x |
|
|
|
|
|
установить его расходимость.
Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|||
1 |
e |
x |
0 |
e |
x |
1 |
e |
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
dx + ∫ |
|
|
dx . |
(1) |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
||||||||||||
−1 |
x |
|
|
|
−1 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то:
|
− |
1 |
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
e x |
a |
e x |
a − |
x |
|
|
|
|
|
|
− |
a |
|
1 |
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx = lim ∫ |
|
|
|
dx = lim ∫ e |
d |
− |
|
|
= lim e |
x |
|
|
|
= lim |
e |
− e |
= lim |
|
|
|
− e = ∞ . |
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
−1 |
x |
|
|
a→0−−1 |
x |
|
|
a→0−−1 |
|
|
x |
a→0− |
|
|
|
|
|
|
a→0− |
|
|
|
|
a→0− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на отрезке [−1; 0] интеграл расходится, а следователь-
но расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.
Приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской криволинейной трапеции.
Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = −x2 + 6x − 5; y = −x + 5 .
Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия – прямая.
11
Найдем координаты точек пересечения данных линий:
Для этого решаем систему уравнений |
|
2 |
+ 6x − 5 , ее решением яв- |
y = −x |
|
||
|
y = −x + 5 |
||
|
|
|
|
ляются точки A(2;3), B(5;0).
Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB.
Для вычисления площадей воспользуемся формулой:
b
S = ∫ f (x)dx , где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х.
a
В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB f (x) = −x2 + 6x − 5 . Вычислим площадь этой фигуры:
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S FACB = ∫ (−x 2 |
+ 6x − 5)dx = (− |
|
+3x 2 −5x) |
= |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|||||
− |
53 |
+ 75 − 25 + |
8 |
− 12 + 10 = 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
f (x) = −x + 5 , следовательно, имеем: |
|||||||||||||||
Для фигуры FAB |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SFAB = 5∫ (−x + 5) dx = |
− |
+5x |
|
|
= − |
25 |
|
+ 25 + 2 − 10 = |
|
26 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь искомой фигуры будет равна: SACB = SFACB − SFAB = 1 .
3
Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
ρ = 3sinϕ .
12
Решение. Построим данную кривую.
Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений углаϕ и вычислением значений ρ из равенства ρ = 3sin ϕ . По-
ложение точки А(ρ,ϕ ) на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием ρ от полюса 0 до точки и углом ϕ , образованным отрезком ОА с полярной осью.
β
Вычислим площадь данной фигуры по формуле: S = 1 ∫ ρ 2dϕ , где α и β
2 α
пределы, в |
|
которых |
лежит |
данная фигура. |
В нашем случае |
||||||||||||||||||||||||||
α = 0, β = π , |
ρ = 3sinϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя все эти величины в формулу, получаем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
9 |
π 1 − cos 2ϕ |
9 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
S = |
|
|
∫ (3sin |
ϕ) |
d ϕ = |
|
|
∫ |
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
∫ (1 − cos 2ϕ)dϕ = |
|
|||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
9 |
(ϕ− |
1 |
sin 2ϕ) |
|
= |
9 |
(π − |
1 |
sin 2π − 0 + |
|
1 |
sin 0) = |
9π |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. Вычисление длины дуги плоской кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 15. |
Вычислить длину дуги кривой: x = |
t 6 |
, y = 2 − |
t 4 |
|
, между точ- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
ками пересечения с осями координат.
Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y.
Построим график и найдем точки пересечения с осями коорди-
нат: x = 0 |
t6 |
= 0 t = 0; |
y = 0 2 − |
t 4 |
= 0 t 4 = 8 t = 4 |
|
. |
|
8 |
||||||||
|
|
|||||||
6 |
|
4 |
|
|
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Длина дуги вычисляется по формуле L = ∫ (x')2 + (y')2 dt . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для данной задачи t1 |
= 0, |
t2 = 4 |
|
|
|
x '= t5 , |
|
y '= −t3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подставляя все эти значения в формулу, получаем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L = ∫ |
(t5 )2 + (−t3 )2 dt = ∫ |
|
|
t10 |
+ t6 dt = ∫ t3 t4 +1 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
t4 +1 |
3 |
|
|
4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
8 |
|
|
|
4 |
8 |
|
1 |
|
|
|
|
6 6 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0∫ |
|
|
|
0∫ |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
t4 +1 d |
|
t4 |
+1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
t4 |
+1 |
|
2 d |
|
t4 |
+1 = |
) |
|
|
|
|
= |
27 |
|
− |
1 |
= |
26 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле
Пример 16. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
3 x
∫ dx ∫ f (x, y)dy .
1 − x
Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным ин-
тегрированием: сначала вычисляется интеграл x∫ fx, y)dy , а затем полу-
− x
чившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3]. Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=–x, y= –x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравне-
ний. Таким образом, получили A(1;1), B(3;3), F(3,–3), K(1;–1).
14
y |
x=1 |
x=3 |
||||
|
|
|
|
|
|
y=x |
|
|
|
|
|
|
B |
|
A |
|
C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
K |
|
||||
|
|
|
F
y = – x
При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе – по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: y= –x , х=1, y=x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:
FKE: −3 ≤ y ≤ − 1, − y ≤ x ≤ 3,
KACE: |
−1 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 3, |
ACB: |
1 ≤ y ≤ 3, y ≤ x ≤ 3 . |
Исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:
−1 3 1 3 3 3
∫ dy ∫ f (x, y)dx + ∫ dy∫ f (x, y)dx + ∫ dy∫ f (x, y)dx .
−3 − y −1 1 1 y
15
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
Основные определения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение вида
F ( x, y( x), y′( x),..., y ( n ) ( x)) = 0, |
(1) |
где x – независимая переменная; y(x) – неизвестная функция;
F ( x, y( x), y′( x),..., y ( n ) ( x)) – заданная функция.
Порядок старшей производной входящей в уравнение называется порядком дифференциального уравнения.
Если уравнение (1) разрешимо относительно старшей производной, то уравнение принимает вид
y(n) = f (x, y, y′,..., y(n−1) ). |
(2) |
Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x) , имеющая на некотором интервале изменения независимого
переменного x (a, b) непрерывные производные y′, y′′,..., y(n) удов-
летворяющие этому уравнению. Это означает, что выполняется тождество по x :
F ( x, y( x), y′( x),..., y ( n ) ( x)) ≡ 0, x (a, b).
График функции y(x) решения уравнения n -го порядка называется интегральной кривой этого уравнения.
Общим решением уравнения (1) или (2) называется функция y = ϕ(x, C1,..., Cn ), которая при любых числовых значениях параметров
C1,..., Cn является решением этого дифференциального уравнения. Частным решением называется решение, получаемое из общего решения при каких-либо определенных значениях постоянных C1,..., Cn . Уравнение Φ(x, y, C1,..., Cn ) = 0, определяющее общее решение как не-
явную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, раз-
16
решенного относительно производной:
y′ = f (x, y). |
(3) |
Задачей Коши называют задачу нахождения решения |
y = y(x) |
уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию y(x0 ) = y0 , где x0 и y0 заданные числа. Это означает, что ищется интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку M 0 (x0 , y0 ) плоскости хOу.
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде
y′ = f (x)g( y), |
(4) |
а также в виде |
|
M (x)N ( y)dx + P(x)Q( y)dy = 0. |
(5) |
Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть выражения входило только x , в другую только y и затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение содержащее неизвестные x и y , могут быть потеряны решения, обращающие это
выражение в нуль, поэтому желательно рассмотреть эти случаи.
П р и м е р. Решить уравнение |
x2 y 2dy + dx = ydx. |
Приводим уравнение к виду (5): ( y − 1)dx − x2 y 2dy = 0 .
Делим обе части уравнения на |
|
x 2 ( y − 1) : |
dx |
− |
|
y2 |
|
dy = 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
y − |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|||||
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
y 2 |
1 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
− |
∫ |
|
dy =C ; − |
|
− |
|
+ y + ln |
y − 1 |
= C , |
||||||||||||
x |
2 |
|
|
y − 1 |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
+ |
y 2 |
|
+ y + ln |
|
y − 1 |
|
= C – |
общее решение. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При делении на x2 ( y −1) |
могли быть потеряны решения x = 0 и |
у –1 =0. Очевидно, у=1 – решение уравнения, а x = 0 – нет.
17
П р и м е р. Найти частное решение уравнения
y′ = xy2 + 2xy , удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.
|
|
|
|
Найдем |
общее |
решение |
уравнения |
y′ = xy2 + 2xy . |
Приводим |
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение к виду (4): |
y′ = |
dy |
, |
|
dy |
= xy(2 + y) . |
Разделяем переменные |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в уравнении ( |
y ¹ 0, |
y ¹ -2 ): |
|
|
|
|
|
dy |
= xdx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
y( y + 2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Интегрируем, используя метод разложения на простейшие дро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
би: |
1 |
∫ |
( |
1 |
|
− |
|
1 |
|
)dy − |
∫ |
xdx = C, |
|
ln |
|
y |
|
− ln |
|
y + 2 |
|
− x2 = ln C , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
y |
|
y + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= C ex2 |
, |
C > 0, |
|
y |
|
= ±C ex 2 |
– |
общее решение. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y + |
2 |
y |
+ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Проверяем функции y = 0 |
|
и |
|
y = -2 . Они также будут являться |
||||||||||||||||||||||||||||||||
решением исходного уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Подставим начальное условие у(0) = 1: |
|
|
|
|
1 |
|
= ±C e0 , |
C = ±1/ 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
+ |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
= ± |
1 |
ex2 |
– |
частное решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид
y′ = f ( y / x). |
(6) |
Функция f ( y / x) , зависящая только от отношения переменных, назы-
вается функцией нулевой степени.
Вообще, функция f (x, y) называется однородной степени n , если для любых x и y и t > 0 выполняется равенство
f (tx, ty) = t n f (x, y).
Уравнение вида (6) приводится к уравнению с разделяющимися пере-
18
менными подстановкой u = |
y |
. Вычислив производную |
y′ = xu′ + u и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
подставив в уравнение(6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
du |
= f (u) - u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
если f (u) - u ¹ 0 , разделяя переменные и интегрируя , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В этом случае, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
∫ |
|
|
|
|
du |
= ln |
|
x |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f (u) - u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (u) = u, то каждо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Если же найдутся такие значения u , при которых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
му такому |
u0 будет отвечать решение y = u0 x, не вытекающее из об- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щего интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
П р и м е р. Решить уравнение xy¢ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 - y2 + y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
Перепишем уравнение в виде у¢ = |
y |
+ |
1 - |
y2 |
|
и положим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
||||||||||
y = ux , откуда y′ = xu′ + u. Подставляя в уравнение y и |
y′ получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
= |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
= 1 - u 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - u2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее получим при условии x |
1 - u2 ¹ 0. |
Интегрированием нахо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дим arcsin u = ln |
|
x |
|
+ ln C1, C1 > 0; arcsin u = ln(C1 |
|
x |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что C1 |
|
x |
|
= ±C1x и обозначая ± C = C, получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin u = ln Cx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Заменяя u на y / x , получим общий интеграл |
arcsin |
y |
= ln(Cx). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим теперь x = 0 |
|
и |
|
1 - u 2 = 0. Но x = 0 |
не удовлетворяет урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нению при произвольном |
|
|
y . Из второго равенства имеем 1 - |
y2 |
= 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y = ±x. Проверка показывает, что эти функции являются решениями уравнения.
19
Линейные уравнения и уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
y′ + P(x) y = Q(x) |
(7) |
называется линейным относительно переменной y , а дифференциальное уравнение вида
y′ + P(x) y = Q(x) yα , a ¹ 0 , a ¹ 1 |
(8) |
называется уравнением Бернулли. Линейное уравнение и уравнение Бернулли можно интегрировать одним методом. Рассмотрим этот метод на примере линейного уравнения. Решение уравнения будем искать в виде произведения y = uv , (u = u(x), v = v(x)) двух функций. То-
гда y′ = u′v + uv′, и u′v + uv′ + P(x)uv = Q(x), |
u′v + u(v′ + P(x)v) = Q(x) . |
В качестве v выбирают любую функцию, |
обращающую выражение в |
скобках в нуль: v′ + P(x)v = 0, а затем находят все функции u , удовлетворяющие уравнению u′v = Q(x).
Функции u и v являются решениями дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Уравнения линейные относительно x : |
x′ + P( y)x = Q( y) решаются с |
||||
помощью подстановки x = uv, |
где u = u( y), v = v( y). |
||||
П р и м е р. Решить уравнение |
y′ + |
y |
= |
ex |
. |
|
|
||||
|
|
x |
x |
Уравнение является линейным, так как можно считать, что, P(x) = 1 ,
|
|
x |
|
Q( y) = |
ex |
. Будем искать решение в виде произведения y = uv, в кото- |
|
x |
|||
|
|
||
ром функцииu = u(x), v = v(x) находим из системы |
v′ + P(x)v = 0 |
|
|
u′v = Q(x), |
|
причем, интегрируя первое уравнение системы, произвольную постоянную полагаем равной нулю.
20