Варианты заданий

Применяя правила подстановки и заключения, доказать, что следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний (1 – 8).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Применяя правила подстановки и заключения, построить вывод формул из данной системы посылок (9 - 13).

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Являются ли выводами в исчислении высказываний следующие последовательности формул (14 – 16).

14. 

15. 

14. 

B

Применяя производные правила вывода, показать, что доказуемы формулы (17 – 34).

17. U  B, P  Q ú- (U  P)  (B  Q)

18. U  B, P  Q ú- (U  P)  (B  Q)

19. U  B, P  Q ú- (B  P)  (U  Q)

20. ú-

21. ú-

22. (P  Q)  ((Q  R)  (P  R))

23. (P  Q)  ((R  P)  (R  Q))

24. Q ® R  (P Ú Q) ®(P Ú R)

25. (P ® Q) Ú (Q ® P),

26. P ® (Q® (P  Q))

27. (P ® Q) Ú (P ® Q)

28. (P ® Q)®((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)))

29. (P ® Q)®((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)))

30. ((P® Q) ® ((P ®  Q) ®  P))

31. ((  Q ®  P) ® (( Q ® P) ® Q))

32. Q  ((P  Q)  (Q   P)

33. Q  (P   Q)  (P  Q)

34. Q  (P   R  Q  Q)

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул (35 – 41).

22. ,

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул. Проверить, справедлива ли выводимость в обратную сторону, если да, то построить вывод (42 – 57).

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. A  (C  P)  (A  C)  P

51. 

52. () P

53. P Q  (P)

54. P  R  Q ú- ((P ® R) ® ((® R)

55. (P  Q)  (P  (Q  R)) ú- ( P R)

56. ú-

57. ú-

2. Исчисления предикатов.

Определим исчисление предикатов гильбертовского типа ИП. Это исчисление является расширением исчисления высказываний ИВ.

В алфавит ИВ добавим строчные латинские буквы для обозначения предметных переменных и символы кванторов и. Язык исчисления составляют формулы, определяемые также, как в алгебре предикатов.

Аксиоматика исчисления дополняется двумя схемами аксиом:

11. 

12. ,

где - произвольная формула, содержащая свободные вхождения переменнойx, причем ни одно из них не находится в области действия квантора по переменнойy, аполучена иззаменой свободных вхожденийx наy.

К правилу заключения ИВ добавляются два правила, связанные с кванторами. Пусть и– формулы, которые содержат и не содержат свободные вхождения переменнойxсоответственно.

2. Правило обобщения (введения )

.

2. Правило введения 

.

Правила естественного вывода дополняются 4-мя правилами. Пусть

14. Правило введения квантора .

Если T |- U(x), то T |- xU(x).

14. Правило удаления квантора .

Если T |- xU(x), то T |- U(y).

14. Правило введения квантора .

Если T |- U(y), то T |- xU(x).

14. Правило удаления квантора .

Если T, U(x) |- V, то T, xU(x) |- V.

Рассмотрим примеры вывода в ИП.

Задание 1. Доказать, что в ИП

|.

Решение.

1. |	1
2. |	15 (1)
3. |-	8
4. |-	8
5. |-	4 (2, 3)
6. |-	4 (2, 4)
7. |-	14 (5)
8. |-	14 (6)
9. |-	Теорема ИП
10. |-	4 (7, 9)
11. |-	Теорема ИП
12. |-	4 (8, 11)
13. ,|-	7
14. |	4 (10, 12, 13)

Задание 2. Доказать, что в ИП

|.

Решение.

1. |	1
2. |-	16 (1)
3. |-	Теорема ИП
4. |-	9
5. |-	4 (2, 3, 4)
6. |	1
7. |-	16 (6)
8. |-	Теорема ИП
9. |-	9
10. |-	4 (7, 8, 9)
11. |-	10 (5, 10)
12. |	17 (11)

Прикладные исчисления предикатов строятся добавлением к исчислению предикатов своих собственных аксиом. Причем, в прикладных исчислениях предикатов вводится понятие терма. Термами являются:

1. предметные переменные и константы;

2. предметные функции.

В аксиомах прикладных исчислений предикатов наряду с предметными переменными могут использоваться произвольные термы.

Всюду далее будут рассматриваться прикладные исчисления предикатов первого порядка, т. е. исчисления, в которых кванторами связываются только предметные переменные, а не предикаты и функции.

1. Исчисление с равенством.

В данном исчислении вводится предикат =, а к аксиомам ИП добавляются аксиомы равенства.

E1.

E2.

Здесь Е1 является аксиомой, а Е2 – схемой аксиомы, где – произвольная формула, а– формула, полученная иззаменой некоторых вхожденийx на y.

Теорема. В любой теории с равенством:

1. |- для любого термаt;

2. |-;

3. |-.

1. Формальная арифметика.

Формальная арифметика определяется как исчисление с равенством на предметном множестве , в котором вводятся предметная константа 0 и предметные функции + ,  ,  , задаваемые аксиомами.

A1.

A2.

A3.

A4.

A5.

A6.

A7.

A8.

Здесь А1-А7 – аксиомы, а А8 – схема аксиомы, определяющая доказательство по индукции.

Задание 3. Доказать, что в формальной арифметике

|.

Решение. Рассмотрим вначале идею доказательства, а затем оформим её в виде формального вывода. Доказательство проведём от противного, предположим, что , тогда у него существует предыдущий элементt, такой что . Так как, то , что противоречит аксиоме А2, следовательно,. Тогда по условию , а в силу А4 , а, значит, .

1. |	6 (А3)
2. ,|-	6 (Е2)
3. ,, |-	2 (2)
4. , |-	3 (1, 3)
5.	А5
6. , |-	Свойство 3) предиката =
7. |-	А2
8. , |-	2 (7)
9. |-	11 (6, 8)
10. |-	12
11. |-	4 (9, 10)
12. , |-	6 (Е2)
13.	А4
14. , |-	Свойство 3) предиката
15. |-	3 (11, 14)
16. ,|-	7
17. |-	4 (11, 15, 16)

Задание 4. Распространить формальную арифметику на множество целых чисел .

Решение. Для того чтобы распространить формальную арифметику на множество , нужно определить константу 0 и предметные функции на множестве , используя определённые на множестве ô функции и константу.

Так как оба множества ô и Ù счётны, то между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, т. е ô Ù . Тогда определим 0 множества Ù как образ нулевого элемента ô 0_ =. Для того чтобы определить функцию следования для целого элементаz, возьмём прообраз этого элемента из ô, вычислим для него следующий элемент, а затем отобразим его в Ù, т. е. . Аналогично определяются функции + и :

,

.