защита инфы и мат моделирование / ЗАНЯТИЯ_ОСЕНЬЮ_2011 / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ_МОДЕЛИРОВАНИЕ_В_САПР / ОТЧЕТ_ПО_1_Й_ЛАБ_РАБОТЕ / СОДЕРЖАНИЕ_ОТЧЕТА
.doc
Лабораторная работа № 4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО
ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА УГЛОВ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА.
(моделирование и тестирование получаемых решений)
Необходимые теоретические сведения
При выполнении данной работы наибольшее внимание было уделено
Тестированию правильности получаемых аналитических решений путем
Моделирования. Моделирование осуществляется на основе численно-
Аналитических методов. Численно-аналитические методы являются
Наиболее универсальными и “изящными” среди численных методов.
Некоторым недостатком численно-аналитических методов среди специалистов считалась необходимость большого объема аналитических
Преобразований и математических выкладок. Однако за последние десятилетия в связи с появлением пакетов компьютерной
Математики этот недостаток автоматически отпал и численно-
аналитические методы получили дальнейшее мощное развитие.
В данной лабораторной работе моделируется и одновременно тестируется
Решение системы дифференциальных уравнений на основе разложения в ряды Тейлора. При этом используется две модификации разложения
В Ряд Тейлора, сообразуясь с возможностями программиста и пользователя
Пакетов компьютерной математики.
Первая модификация заключается в реккурентном вычислении
Производных, при этом старшие производные вычисляются через
Младшие, а движение по траектории решений осуществляется по шагам
С пересчетом начальных условий на каждый шаг. Этот метод прост
Алгоритмически и легко реализуется программистом на языках
невысокого уровня (в данной работе на С++6.0). Другим достоинством
этого метода вследствие его реализации по шагам является высокая точность.
При сравнительно невысоких порядках разложения в ряд Тейлора.
Недостатком этого метода является то, что решение из-за пошагового пересчета начальных условий представляет собой кусочно-непрерывную
функцию, с разрывом (в предлагаемой реализации) уже по второй производной. Вторая производная от углов – это угловое ускорение.
Конечный скачок по угловому ускорению в механике является ударом.
Таким образом, эта модификация пригодна лишь для задач моделирования
И непригодна, например, для задачи управления и регулирования.
Блок-схема реализации этого метода приведена на рис. 1.
Существуют более совершенные модификации с пересчетом начальных
Условий в которых непрерывны производные высших порядков, однако,
Вследствие сложности, эти модификации не рассматриваются.
Вторая модификация метода разложения решения дифференциального
уравнения основана на выражении всех старших производных через
начальные условия и получении более высокого порядка разложения
в ряд Тейлора. Эта модификация является алгоритмически более с
сложной и соответственно может быть реализована только с
использованием пакета компьютерной математики – в данной
лабораторной работе – Maple-6. Несомненное достоинство этого метода-
высокий порядок разложения, что позволяет накрыть область решения
непрерывными функциями.
В лабораторной работе моделируется и тестируется известное аналитическое
решение системы дифференциальных уравнений
(1)
Где
угол
прецессии,
угол
нутации.
Моменты полагаются равными нулю
(3)
и система путем несложных преобразований приводится к виду
(4)
Где
(5)
Тогда систему уравнений (4), перепишем в виде
(6)
Дифференцируя (7) по времени, получаем
(7)
Далее дифференцируя, имеем
(8)
И так далее.
Тогда решение системы уравнений в виде ряда Тейлора записывается так
(9)
Начальными условиями являются углы и угловые скорости, поэтому
Угловые скорости должны тоже пересчитываться на каждый шаг
По
времени -
аналогично (9)
(9)
Блок-схема, изображенная на рис.1 работает пошагово, с пересчетом
Начальных условий, этот алгоритм реализован в программе на С++6.0
(следует заметить, что данная блок-схема может работать и без
Разрывов по производным в случае реализации на аналоговых
Вычислительных машинах - АВМ, однако АВМ на сегодняшний день
Вследствие морального устаревания прекратили существование)
МОДЕЛИРОВАНИЕ_0.c - НА С++6.0
Результаты моделирования взятые из этой программы
приводятся ниже.
ТЕСТ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Order_Appr = 2
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.016719374722593949
Mist_Square_Beta_Rel = 0.033174593177101697
Order_Appr = 3
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000117734800687299
Mist_Square_Beta_Rel = 0.002848947562446327
Order_Appr = 4
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000007825391535804
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000015145897970438
Order_Appr = 5
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000000033178687669
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000000814820280237
Order_Appr = 6
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000000001497849705
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000000002871682953
Order_Appr = 7
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000000000004515315
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000000000111664156
Order_Appr = 8
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000000000000154143
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000000000000293823
Order_Appr = 9
Mist_Square_Alfa_Rel = 0.000000000000000635
Mist_Square_Beta_Rel = 0.000000000000008723
Относительные среднеквадратические ошибки рассчитаны для 16 шагов
С временным интервалом - Delta_t = 1./(8.*256.); Видно, что точность моделирования с увеличением порядка приближается к машинной точности вычислений в формате Double – 18 десятичных знаков.
Точные решения, приведенные в программе на С++ 6.0, взяты из методички.
Далее вторая модификация численно-аналитических методов, была полностью реализована в пакете Maple-6.
Заданий заданы в виде списков, что позволило компактно реализовать программу по циклам.
Точные решения системы дифференциальных уравнений также получены в этой программе в пакете Maple-6. Фактически вся
Лабораторная работа №1 проделана не выходя из этого пакета,
при этом не надо строить интерфейсы, строить отдельно графики
и т.д.
Ниже приводятся необходимые фрагменты моделирования в пакете Maple-6.
На графиках точные решения обозначены точками,
синяя линия порядок полинома – 16,
зеленая линия порядок полинома – 17,
красная линия порядок полинома – 16.
Выводы моделирование и тестирование аналитических решений
Полностью подтвердило эффективность новых предлагаемых
Подходов к выполнению лабораторных работ.