Senikov_POE 3к

где: au – вес u-го частного параметра оптимизации, yui – результат измерения u-го параметра оптимизации в i-м опыте, yu0 – «идеальное» значение u-го параметра оптимизации.

Если в некотором опыте все частные параметры оптимизации совпадут с идеалом (выражение в круглых скобках), то Yi станет равным нулю. Это и есть то значение, к которому нужно стремиться.

Вес аu вводится для устранения нивелировки частных откликов. Для нахождения значений весов можно воспользоваться экспертными оценками.

Способ 3. Шкала желательности Харрингтона

Назначение шкалы Харрингтона – установление соответствия между физическими и психологическими параметрами. Здесь под физическими параметрами понимаются всевозможные частные параметры оптимизации, характеризующие функционирование исследуемого объекта: технические, эстетические, статистические параметры. Под психологическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки экспериментатора желательности того или иного значения отклика. Чтобы получить шкалу желательности, удобно пользоваться готовыми таблицами соответствии между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой системах (см.

табл. 2.1).

Таблица 2.1. Стандартные отметки на шкале желательности

В таблице 2.1 представлены числа, соответствующие некоторым точкам кри-

вой (см. рис. 2.1), которая задается уравнением d = e e y .

11

ем, но она обладает такими важными свойствами, как адекватность, статистическая чувствительность, эффективность, причем эти свойства не ниже, чем таковые для любого технологического показателя, им соответствующего. Обобщенная функция желательности является количественным, однозначным, единым и универсальным показателем качества исследуемого объекта и, обладая такими свойствами, как адекватность, эффективность, статистическая чувствительность, и поэтому может использоваться в качестве критерия оптимизации.

3. ФАКТОРЫ

3.1. Количество факторов

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких дискретных значений – уровней. Все сочетания уровней факторов составляют множество различных состояний объекта исследования, что, одновременно, составляет число возможных опытов эксперимента. Объекты исследования обычно обладают большой сложностью. Так, простая система с пятью факторами на четырех уровнях имеет 1024 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже 1048576, что вызывает сомнения в возможности проведения такого эксперимента. Отсюда возникает проблема выбора количества факторов и их уровней, необходимых для достижения цели исследования [2].

После выбора объекта исследования и параметра оптимизации нужно рассмотреть все факторы, которые могут влиять на процесс. Неучтенные и неконтролируемые экспериментатором факторы могут значительно увеличить ошибку опыта. При поддержании этих факторов на фиксированных уровнях может быть получено ложное представление об оптимуме, т.к. нет гарантии, что полученный уровень является оптимальным. Таким образом, чем больше факторов рассматривается при проведении эксперимента, тем меньше ошибка эксперимента. С другой стороны большое число факторов увеличивает число опытов

где: р – число уровней, k – число факторов.

Таким образом, с одной стороны, для уменьшения ошибки эксперимента количество факторов должно быть максимально, с другой стороны, с увеличением количества факторов в геометрической прогрессии растет число опытов. Итак, выбор факторов является весьма существенным, т.к. от этого зависит успех эксперимента.

3.2. Характеристика факторов

Факторы могут быть непрерывными или дискретными. При планировании эксперимента используют только дискретные значения факторов.

Факторы могут быть количественные и качественные. Качественные факторы: различные вещества, технологические способы, приборы, исполнители и т.п.

13

При планировании эксперимента с качественными факторами производится кодирование с использованием соответствующих шкал.

Фактор считается заданным, если указаны его название и область определения. В выбранной области определения он может иметь несколько значений (уровни фактора), которые соответствуют числу его различных состояний.

3.3. Формализация процесса отбора факторов

Для отбора значимых факторов используются следующие методы:

априорная информация: литература, специалисты;

метод экспертных оценок: априорное ранжирование;

предварительные и отсеивающие эксперименты.

3.4. Кодирование факторов

В большинстве случаев желаемая математическая модель представляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое место точек математических ожиданий условных распределений целевой функции

где: α0 ,α1 ,...,αN ,α12 ,... - коэффициенты регрессионной модели, x1,…xK – натуральные в своей размерности значения факторов.

Получить регрессионную модель с натуральными значениями факторов сразу в большинстве случаев не представляется возможным. Поэтому вначале получают полином с кодированными безразмерными значениями факторов

где: x1,...,xk - кодированные (безразмерные) значения факторов, a0, a1,… - коэффициенты, значения которых в общем случае отличны от значений аналогичных коэффициентов модели (3.2).

Кодированные значения факторов определяются соотношением

где: xj – натуральное текущее значение j-го фактора; xj0 – натуральное значение нулевого уровня j-го фактора; λj – половина размаха варьирования j-го фактора, называется обычно интервалом варьирования; j – номер фактора (j=1…k).

Уровень j-го фактора, соответствующий большему значению xjВ, называют верхним, а соответствующий меньшему значению xjН – нижним. Посредине между ними размещен основной (нулевой или базовый) уровень (см. рис.3.1).

14

тервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента (3.1) и эффективность оптимизации.

Минимальное число уровней – 2: верхний (+1) и нижний (-1) уровни. Два уровня используются в отсеивающих экспериментах, на стадии движения в область оптимума и при описании объекта исследования линейными моделями. С увеличением числа уровней (моделей второго и более) порядка повышается чувствительность эксперимента, но одновременно возрастает число опытов. Здесь необходимы факторы на 3, 4 или 5 уровнях. Наличие нечетных уровней указывает на проведение опытов в нулевых (основных) уровнях.

Вкаждом отдельном случае число уровней выбирают с учетом условий задачи

ипредполагаемых методов планирования эксперимента. Здесь необходимо учитывать наличие качественных и дискретных факторов. При получении моделей второго порядка качественные факторы не применимы, т. к. они не имеют ясного физического смысла для нулевого уровня. Для дискретных факторов часто применяют преобразование измерительных шкал, чтобы обеспечить фиксацию значений факторов на всех уровнях.

4. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ КАК ОСНОВА ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Регрессия – статистическая зависимость условного математического ожидания случайной величины от случайного вектора (случайной величины).

Регрессионный анализ – раздел математической статистики, изучающий зависимость между случайными величинами и возможностью её функционального представления по данной выборке.

Регрессионная функция – функция от случайного вектора, дающая для некоторой случайной величины наилучшую оценку в смысле наименьших квадратов [7].

4.1. Уравнение регрессии

Описание исследуемого объекта нельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов. Оно может быть лишь приближенным и на небольшом участке в окрестностях выбранной базовой точки. Аппроксимация искомой математической зависимости представляет собой некоторый полином - отрезок ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость:

где:

16

Модели первого порядка без взаимодействий: y = a0 + a1x1,

y = a0 + a1x1 + a2x2, (см. рис.4.1A) y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3.

Модели первого порядка с взаимодействиями: y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2, (см. рис.4.1B)

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3,

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3.

Модели второго порядка без взаимодействий: y = a0 + a1x1 + a11x21,

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a11x21 + a22x22, (см. рис.4.1C) y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a11x21 + a22x22 + a33x23.

Модели второго порядка с взаимодействиями

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11x21 + a22x22, (см. рис.4.1.D)

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3 + a11x21 + a22x22 +

a33x23.

18

Рис.4.1. Графики функций различных регрессионных моделей.

4.3. Проверка значимости коэффициентов регрессии

Проверить значимость коэффициента регрессии означает дать ответ на вопрос, за счет чего коэффициент оказался отличным от нуля – за счет случайных причин (ограниченного числа опытов), либо за счет того, что это объективно имеет место.

Реализуется обычно следующий алгоритм. Для рассматриваемого коэффициента определяется доверительный интервал (интервальная оценка) Iγ(a), соответствующий доверительной вероятности γ:

Iγ(a) = {аH; aB},

где: аH, aB – границы интервала.

Далее уточняется вопрос, попадает ли в построенный доверительный интервал

Iγ(a) точка a=0 (см. рис.4.2)

19