Лабораторная работа №5

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ

Цель работы – Определение степени адекватности модели реальному объекту, у которого параметры получили приращения. Частотная область.

1.Основные теоретические сведения

Для линейных систем существуют методики оценки точности, как временных характеристик модели объекта, так и ее частотных характеристик. Один из наиболее эффективных аппаратов, применяемый для оценки точности – аппарат теории чувствительности, подробно рассмотренный ранее в лабораторной работе “Анализ точности математической модели. Временная область”может быть распространен и на частотную область

По аналогии с рассмотренными ранее функциями чувствительности временных характеристик существуют функции чувствительности частотных характеристик.

К основным частотным характеристикам систем и их звеньев относят [1] амплитудные частотные характеристики (АЧХ) и фазовые частотные характеристики (ФЧХ). Выражения для их вычисления получаются из частотной передаточной функции звена. Рассмотрим процедуру получения АЧХ и ФЧХ на конкретном примере.

Пусть имеем апериодическое звено с передаточной функцией

= (1)

Прежде чем анализировать частотные характеристики такой системы, получим выражения, по которым эти частотные характеристики обычно вычисляются.

Для этого из выражения (1) получают частотную передаточную функцию, заменив оператор s на произведение jω.

. (2)

В свою очередь, частотная передаточная функция может быть представлена в виде [2]

, (3)

где U(ω) и V(ω) вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции, одновременно А(ω) – модуль частотной характеристики, (ω) – аргумент или фаза частотной характеристики,

Для вычисления А(ω) и (ω) справедливы следующие выражения

, (4)

. (5)

Если построить графики зависимостей А(ω) и (ω), получим соответственно амплитудную (АЧХ) и фазовую (ФЧХ) частотные характеристики.

Получим отмеченные выше частотные характеристики ( А(ω) и (ω) ) для рассматриваемого примера с передаточной функцией (1).

Чтобы выделить в этом выражении мнимую и комплексную части домножают числитель и знаменатель на сопряженный знаменатель. После некоторых преобразований можно получить выражение

. (6)

Сопоставив выражения для частотных передаточных функций (4) и (6) становится очевидным, что

, (7)

. (8)

Тогда с помощью формул (4) и (5) и после некоторых преобразований запишем формулы для вычисления частотных характеристик применительно к рассматриваемому примеру (1)

, (9)

. (10)

Таким образом, получены выражения для вычисления соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотных характеристик.

В выражении (9) и (10) К и Т это коэффициент усиления и постоянная времени. Величины К и Т – это: номинальные (расчетные) значения этих параметров. Однако в процессе изготовления системы или ее эксплуатации эти параметры, как правило, получают отклонения иот номинальных значений.

С учетом наличия этих отклонений естественно предполагать (предсказать) , что и амплитудная и фазовая частотные характеристики тоже получат отклонения или иначе приращения. То есть, выражения (9) и (10) при наличии приращений идля предсказания возможных приращений частотных характеристик должны быть преобразованы к виду

, (11)

. (12)

где - это приращения соответственно амплитудных и фазовых частотных характеристик, возникшие из-за приращенийипараметровK и T передаточной функции (1).

Как известно из теории чувствительности [2], возможные (предсказываемые) теорией чувствительности отклонения могут быть определены по следующим выражениям

, (13)

(14)

где - функции чувствительности от амплитудной частотной характеристики по параметрам К и Т соответственно;- функции чувствительности от фазовой частотной характеристики по параметрам К и Т соответственно;- отклонения параметров К и Т от их номинальных значений.

Сами функции чувствительности представляют собой [1,2] соответствующие частные производные от АЧХ и ФЧХ (формулы (11) и (12)), вычисленные при равных нулю . Выражения для этих функций чувствительности, после преобразований, имеют вид

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Таким образом, выражения (11) - (14) вместе с (15) – (18) позволяют определять предполагаемые значения амплитудной частотной А(ω) и фазовой частотной (ω) характеристик.

В данной лабораторной работе предполагаемые (прогнозируемые) значения амплитудной частотной А(ω) и фазовой частотной (ω) характеристик должны быть сопоставлены с реальными их значениями(также вычисленными для случая, когда параметры К и Т получили отклоненияи) . Последние вычисляются по выражениям, аналогичным (9) и (10) , однако, параметры К и Т в этих выражениях необходимо заменить на К+и Т+, то есть по выражениям

, (19)

. (20)

Для того, чтобы сопоставление прогнозируемых АЧХ и ФЧХ при наличии и теоретических их значений (формулы(19) и (20)) носило объективный характер вычисляются оценки погрешностей предсказания по формулам:

а) погрешность вычисления амплитудной частотной характеристики

, (21)

б) погрешность вычисления фазовой частотной характеристики

(22)

Таким образом, предложена математическая модель (11) - (14) для вычисления частотных характеристик рассматриваемого объекта (1) с учетом возможных изменений его параметров К и Т. Оценка ошибок этой модели (оценка точности) может быть выполнена по выражениям (21) и (22).