1к 1семестр / ekzamen_po_lin_algebre

Тест № 1

для студентов заочного факультета

Тема: Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

За каждое правильно выполненное задание начисляется один балл, в противном случае – ноль баллов.

I. Выяснить, делит ли точка M(3,7) отрезок AB пополам, если:

1. A(1,6), B(5,9) 2. A(-4,6), B(10,8) 3. A(8,5), B(-5,9) 4. A(1,5), B(5,9).

II. Указать, принадлежит ли точка A(4;5) прямой, если уравнение этой прямой имеет вид:

5. 6. 7. 8.

III. Известно, что уравнение прямой на рис. имеет вид Ax+By+C=0. Тогда:

9. AB>0 10. AC>0 11. BC<0

IV. В треугольнике, вершины которого имеют координаты A(1,2), B(2,5),C(-3,4) уравнение высоты (CH) имеет вид:

12. 2x+3y-3=0 13. 3x-5y-2=0

V. Даны матрицы A, B и C размера 4x2, 3x4 и 4x3 соответственно. Ответить, верно ли указан размер матрицы после умножения:

14. [CxB]=4x3 15. [CxBxA] =3x4

VI. Указать, имеет ли система уравнений решение, если:

16. 17.

VII. Даны точки A(2,5), B(6,3), C(-3,7), D(3,1). Найти скалярное произведение:

18. =11 19. =28 20. =-3 21. =13

VIII. Выяснить, образуют ли векторы базис пространства R³, если:

22. 23.

IX. Укажите верные свойства определителя:

24. Если к столбцу определителя прибавить другой столбец этого определителя, умноженный на два, то определитель увеличится в два раза.

25. Если какая-либо строка определителя равна столбцу этого же, то такой определитель равен нулю.

X. Укажите случаи, когда матрица имеет обратную:

26. Прямоугольная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы.

27. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

Часть II.

За каждое правильно выполненное задание даётся один балл, в противном случае баллы не начисляются.

1. Известно уравнение прямой . Указать прямую, перпендикулярную данной прямой:

a). b). c). d).

2. Известно уравнение прямой . Указать прямую, параллельную данной прямой:

a). b). c). d).

3. Найти результат умножения матриц и :

a). b). c). d).

4. Решить матричное уравнение AX=B, если :

a). b). c). d).

5. Указать число , при котором векторы =(3,2,-1) и =(,-8,4) параллельны:

a). =4 b). =3 c). =-2 d). =-4

6. Указать число , при котором векторы =(2,-1,3) и =(-5,,2 ) перпендикулярны:

a). =5 b). =-6 c) =7 d). =-5

7. Закончите утверждение: если из линейно независимой системы векторов, содержащей более двух векторов, исключить один вектор, то эта система будет …

a) линейно зависимой b) неопределённой

c) неопределённой d) линейно независимой

8. Закончите утверждение: всякие два вектора, лежащие в плоскости

a) ортогональны b) коллинеарны

c) линейно зависимы d) компланарны

Часть III.

За каждое правильно выполненное задание даётся три балла, в противном случае баллы не начисляются.

1. Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(1,3,1), B(2,1,3), C(3,1,-2). Найти координаты четвёртой вершины и записать в ответ сумму его координат.

2. Найти длину средней линии трапеции ABCD: A(-2.5,-15), B(4.5,-5), C(7,1), D(5,3).

3. Найти матрицу, обратную и записать в ответ сумму всех её элементов.

4. Решить систему: и записать в ответ сумму .

5. Найти , при котором векторы   линейно зависимы.

Тест на экзамене будет состоять из других задач, но содержит материал, отражённый в этом образце. Количество задач в экзаменационном тесте в каждой части также отличается от приведённых здесь.