- •Математика
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Задача 1
- •Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое
- •Примеры:
- •Задача 3
- •Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. Для решения задачи следует использовать следующие сведения
- •Рассмотрим две прямые
- •Рассмотрим две плоскости
- •Задача 3.
Рассмотрим две плоскости
Р1: A1 x+B1 y+C1 z+D1=0
Р2:A2x+B2y+C2z+D2=0, если плоскость Р1 параллельна Р2, то выполняется условие :
(8)
9.) Условие перпендикулярности плоскостей
A1 A2 + B1B 2 + C1 С2 =0 (9)
10.а) угол между плоскостями
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
(10.а)
10.б) угол между векторами
и
(10.б)
10.в) угол между прямой и плоскостью
прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0
(10.в)
11.) Расстояние между двумя точками
Даны точки А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), расстояние между ними:
(11)
12.) Расстояние от точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости
A x+B y+C z+D=0 :
(12)
13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если ,, то
(13)
Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.
14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах
, ,
(14)
знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.
Задача 3.
Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
3.а.) Найти длину ребра А1 А2.
Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.
Длина ребра А1 А2 равна 3 .
3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.
Составим уравнение прямой проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой (2)
;
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Воспользуемся формулой (7)
уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра
3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки
А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.
Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) и перпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .
Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2) , тоуравнение искомой высоты.
или в параметрической форме (3)
x=6t, y=1-8t, z=1+5t
3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)
;
,
3.д) Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А1A2, А1A3, А1A4. Воспользуемся формулой (14)
, ,
Задача 4.
4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
4.1. А =; 4.2. А =;
4. 3. А =; 4.4. А =;
4. 5. А =; 4.6. А =;
4.7. А =; 4.8. А =;
4.9. А =; 4.10. А =;
4. 11. А =; 4.12. А =;
4.13. А =; 4.14. А =;
4.15. А =; 4.16. А =;
4.17. А =; 4.18. А =;
4.19. А =; 4.20. А =.
Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы
Число называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ=Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А -Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = .
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.
А –Е = – = .
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:
, , .
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х = – искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Аналогично при получаем систему
,
общее решение которой , где любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Ответ: , , ,
, , .