Компьютерный практикум по статистике

∙под доверительными интервалами — числовые значения t-статистик и

критическую точку t0,05; n–m–1, найденную с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР;

∙под значениями t-статистик — соответствующие P-значения.

6.Выбрать лучшее уравнение и, используя его, ответить на следующие вопросы:

а) Какой процент выборочной дисперсии признака Y обусловлен линей-

ным влиянием включенных в уравнение регрессоров?

б) Каковы точечная и 95%-ная интервальная оценки генерального среднего значения признака Y при значениях регрессоров на первом объекте?

в) Увеличение какого регрессора на единицу его измерения (при неизменных значениях других регрессоров) ведет к наибольшему изменению среднего значения результативного признака; увеличение какого регрессора на единицу его измерения (при неизменных значениях других регрессоров) ведет к наибольшему максимально возможному с 95%-ной вероятностью изменению среднего значения результативного признака?

г) Увеличение среднего значения какого регрессора на 1% (по отношению к его среднему значению) при неизменных значениях других регрессоров ведет к наибольшему процентному изменению среднего значения результативного признака (по отношению к его среднему значению); увеличение среднего значения какого регрессора на 1% (по отношению к его среднему значению) при неизменных значениях других регрессоров ведет к наибольшему максимально возможному с 95%-ной вероятностью процентному изменению среднего значения результативного признака?

РАБОТА 6. Компонентный и факторный анализ [выполняется с применением программы «Факторный анализ» пакета PASW Statistics (SPSS)].

Задача. Изучается система из пяти признаков X(1), X(2), X(3), X(4), X(5) по числовым данным, собранным на n = 52 объектах. Цель — выявить общие

для этих признаков латентные факторы (компоненты), влиянием которых обусловлены вариации признаков и их ковариации. Варианты признаков и их числовые значения приведены для каждого варианта в прил. 4 (они совпадают с вариантами факторных признаков в работе 5). Требуется:

1. Записать модель компонентного анализа и предъявляемые к ней требования. Используя в качестве исходных данных матрицу (52 × 5) значений признаков X(1), X(2), X(3), X(4), X(5) (сохраненную при выполнении п. 2 работы 5), обратиться к программе «Факторный анализ» и реализовать метод главных компонент, задав максимальное число факторов равным пяти.

2.В окне результатов работы программы «Факторный анализ»:

а) выбрав для просмотра таблицу «Total variance explained», определить

доли общей дисперсии признаков (в процентах), приходящиеся на каждую компоненту, и накопленные доли этой дисперсии (в процентах);

б) выбрав для просмотра таблицу «Component matrix»:

∙определить матрицу (5 × 5) нагрузок признаков на компоненты;

∙записать выражения исходных признаков через компоненты и выражения компонент через признаки.

11

3. Снизить размерность системы исходных признаков, ограничившись несколькими первыми главным компонентами, на долю которых приходится не менее 70% общей дисперсии признаков. Дать содержательную интерпретацию этих компонент, используя матрицу нагрузок исходных признаков на главные компоненты и факторную диаграмму (unrotated factor solution). Рассчитать значения отобранных главных компонент на 52 объек-

тах и сохранить эти значения для использования в работе 7 (п. 5).

4.Провести регрессионный анализ признака Y (из работы 5) на ото-

бранные главные компоненты. Сравнить его результаты с окончательными результатами регрессионного анализа признака Y на исходные пять факторных признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) (полученными в работе 5).

5.Записать модель факторного анализа и предъявляемые к ней требования. Считая, что число общих факторов не превышает числа главных компонент, на долю которых приходится не менее 70% общей дисперсии

исходных признаков, обратиться к программе «Факторный анализ» и реализовать метод максимального правдоподобия (maximum likehood), воспользовавшись методом «Varimax» для вращения факторного пространства; про-

верить значимость модели факторного анализа. Рассчитать значения полученных общих факторов на 52 объектах и сохранить эти значения для использования в работе 7 (п. 6).

6.Сравнить факторные диаграммы до вращения (unrotated factor solution) и после вращения (rotated solution) и предложить на основании анали-

за матрицы факторных нагрузок и факторной диаграммы после вращения содержательную интерпретацию факторов; сравнить полученные факторы

сглавными компонентами, построенными в п. 4.

7.Провести регрессионный анализ признака Y на общие факторы.

Сравнить его результаты с результатами регрессионного анализа признака Y на исходные пять факторных признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) (полученными

в работе 5).

РАБОТА 7. Кластерный анализ [выполняется с применением программ «Hierarchical cluster analysis» и «K-Means cluster» пакета PASW Statistics (SPSS)].

Задача. Изучается система из пяти признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) по числовым данным, собранным на n = 52 объектах. Варианты признаков и их чи-

словые значения приведены для каждого варианта в прил. 4 (они совпадают с вариантами факторных признаков в работе 5). Цель — провести классификацию 20 объектов, номера которых приведены в прил. 4. Требуется:

1. Используя в качестве исходных данных матрицу (52 × 5) значений признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) на объектах, провести вычисления по программе «Hierarchical cluster analysis», выбрав для классификации все пять признаков, и реализовать метод ближайшего соседа (nearest neighbor) с выбором евклидовой метрики расстояний (euclidean distance), предварительно стандартизовав исходные данные (standardize); построить дендрограмму (dendrogram); сохранить протокол объединения (agglomeration schedule) и матрицу расстояний (proximity matrix).

2.В окне результатов иерархического кластерного анализа:

12

а) просмотрев матрицу расстояний, выписать расстояние между первым и двадцатым объектами и привести формулу его расчета;

б) выписать первые пять строк протокола объединения, объяснить их смысл и привести алгоритм пересчета матрицы расстояний между объектами на каждом шаге объединения;

в) проанализировав по дендрограмме иерархию объединения кластеров (первые пять шагов сопоставить с протоколом объединения), предложить (если это возможно) разбиение исходных 20 объектов на два кластера — класса и указать объекты, относящиеся к каждому классу.

3.Выполнить пп. 1 — 2 для методов дальнего соседа (furthest neighbor) и средней связи (between-groups linkage).

4.Провести вычисления по программе «K-Means cluster», выбрав для классификации пять признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) (c предварительной стан-

дартизацией) и указав в качестве количества кластеров число 2.

5.Выполнить пп. 1 — 4, выбрав для классификации не исходные признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), а главные компоненты, на долю которых при-

ходится не менее 70% общей дисперсии исходных признаков, (полученные

вработе 6).

6.Выполнить пп. 1 — 4, выбрав для классификации не исходные признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), а общие факторы (полученные в работе 6).

7.По результатам пп. 1 — 6 для каждого варианта разбиения вычислить внутриклассовые средние значения признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) и

их выборочные дисперсии, после чего выбрать вариант разбиения 20 объектов на два кластера — класса, руководствуясь критерием минимума суммы внутриклассовых дисперсий.

8.Для выбранного варианта разбиения проверить гипотезы о равенстве математических ожиданий каждого из пяти признаков в кластерах и на основании результатов проверки этих гипотез провести содержательную интерпретацию структуры изучаемой совокупности из 20 объектов и предложить названия для построенных кластеров.

9.Провести регрессионный анализ признака Y на признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) отдельно для каждого кластера. Сравнить его результаты с результатами регрессионного анализа признака Y на признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), полученными в работе 5.

РАБОТА 8. Дискриминантный анализ [выполняется с применением программы «Discriminant analysis» пакета PASW Statistics (SPSS)].

Задача. Изучается система из шести признаков Y, X(1), X(2), X(3), X(4), X(5) по числовым данным, собранным на n = 52 объектах. Варианты признаков и

их числовые значения приведены для каждого варианта в прил. 4 (они совпадают с вариантами результативного и факторных признаков в работе 5). Используя в качестве обучающей выборки разбиение 20 объектов из 52 на две группы, полученное в результате кластерного анализа (п. 6 работы 7), требуется расклассифицировать по этим двум группам оставшиеся 32 объекта, которые в кластерном анализе не рассматривались (считая, что каждый из оставшихся 32 объектов входит в одну и только в одну из этих двух групп). Цель — определить, в какую из групп входит каждый из 32 объек-

13

тов в предположении, что каждая группа подчиняется пятимерному нормальному закону распределения с одинаковой для обеих групп ковариационной матрицей. Требуется:

1. Используя в качестве исходных данных матрицу (52 × 5) значений признаков X(1), X(2), X(3), X(4), X(5) на объектах, провести вычисления по программе «Discriminant analysis», выбрав для классификации все пять признаков. На основании анализа таблицы «Canonical discriminant function coefficients» запи-

сать дискриминантную функцию, построенную программой.

2.Указать, к каким группам были отнесены классифицируемые объекты, и вероятности, с которыми объекты входят в эти группы.

3.Указать объекты, которые в обучающей выборке были неверно отнесены к группам, прокомментировать эти несоответствия.

4.На основании анализа таблицы «Wilks’ Lambda» проверить значи-

мость различий средних значений дискриминантной функции в двух группах.

5.Проверить гипотезы о равенстве математических ожиданий признаков в двух группах и на основании результатов проверки этих гипотез провести содержательную интерпретацию структуры изучаемой совокупности из 52 объектов и предложить названия для групп.

6.Провести регрессионный анализ признака Y на признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) отдельно для каждой из двух групп объектов. Сравнить его результаты с результатами регрессионного анализа признака Y на признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), полученными в работе 5.

РАБОТА 9. Непараметрический анализ однородности выборок [выполняется с применением программы «Factor analysis» пакета PASW Statistics (SPSS)].

Требуется:

1.Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, состоящую в проверке гипотезы об однородности двух выборок.

2.Сформулировать такую гипотезу и проверить ее с помощью критерия Вилкоксона — Манна — Уитни, приняв уровень значимости равным 0,05.

3.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

РАБОТА 10. Оценка связи между двумя порядковыми случайными величинами [выполняется с применением программы «Factor analysis» пакета

PASW Statistics (SPSS)].

Требуется:

1.Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, состоящую в оценке связи между двумя порядковыми случайными величинами и предложить для этой задачи исходные числовые данные (связанность рангов обязательна!).

2.Вычислить ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендалла и проверить статистическую значимость найденных значений коэффициентов, приняв уровень значимости равным 0,05.

3.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

РАБОТА 11. Оценка связи между порядковой и категоризованной случайными величинами.

14

Требуется:

1.Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, состоящую в оценке связи между порядковой и категоризованной случайными величинами и предложить для этой задачи исходные числовые данные (связанность рангов обязательна!).

2.Вычислить ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендалла и проверить статистическую значимость найденных значений коэффициентов, приняв уровень значимости равным 0,05.

3.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

РАБОТА 12. Оценка связи между несколькими порядковыми случайными

величинами.

Требуется:

1.Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, состоящую в оценке связи между более чем двумя порядковыми случайными величинами и предложить для этой задачи исходные числовые данные (связанность рангов обязательна!).

2.Вычислить коэффициент конкордации и проверить статистическую значимость найденного значения коэффициента, приняв уровень значимости равным 0,05.

3.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

РАБОТА 13. Оценка связи между двумя категоризованными случайны-

ми величинами.

Требуется:

1.Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, состоящую в оценке связи между двумя категоризованными случайными величинами X и Y (каждая из которых должна иметь не менее трех

градаций) и предложить исходные данные для таблицы сопряженности, соответствующей поставленной задаче (см. прил. 5).

2.Приняв уровень значимости равным 0,05, проверить гипотезу о независимости категоризованных случайных величин X и Y с помощью

критериев χ2 и χ2 -информационный.

3.Найти точечные и 95%-е интервальные оценки коэффициентов Чупрова, Крамера и Пирсона; сделать выводы о силе связи между величинами X и Y.

4.Найти точечные оценки направленных и симметризованных коэффициентов нормированной информации и λ и τ -коэффициентов Гудме-

на — Краскала; привести 95%-ные интервальные оценки коэффициентов

λY|X и λ X|Y; выводы о силе зависимости величин и связи между ними.

5.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

РАБОТА 14. Оценка связи между тремя категоризованными случайны-

ми величинами.

Требуется:

1. Сформулировать содержательную социально-экономическую задачу, требующую анализа таблицы сопряженности трех категоризованных случайных величин, каждая из которых имеет две градации, и предложить

15

исходные данные для таблицы сопряженности, соответствующей поставленной задаче (см. прил. 6);

2.Оценить параметры следующих логарифмически линейных моделей:

∙модели с отсутствием парных связей,

∙моделей с одной, двумя и тремя парными связями,

∙насыщенной модели;

3.Проверить адекватность каждой модели, используя критерий χ2 -

информационный, приняв уровень значимости равным 0,05;

4.Сравнить модели и сделать вывод о механизме формирования частот таблицы сопряженности.

5.Провести содержательную интерпретацию результатов решения.

3.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

КВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТ И ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1. П о с т р о е н и е и н т е р в а л ь н о г о в а р и а ц и о н н о г о р я д а , о ц е н и в а н и е н о р м а л ь н о г о з а к о н а

р а с п р е д е л е н и я и е г о п а р а м е т р о в

Служба маркетинга оценивает дилеров фирмы по объему продаж. Сведения об объеме ежедневных продаж товара (в тыс. ден. ед.) дилером за последние 100 дней приведены в табл. 3.1.1.

1. Построим интервальный вариационный ряд. В ячейки A1:A101 рабочего листа Microsoft Excel введем данные об объеме продаж из табл. 3.1.1

(в первой строке — заголовок, как показано на рис. 3.1.1). Ширина интервала

=x(max) − x(min)

1+ 3,322lgn

(здесь x(max) — максимальный объем продаж, а x(min) — минимальный, расчет

производится с числом знаков после запятой, на один большим чем в исходных данных). Границы интервалов (aj; aj+1) рассчитываются по правилу:

a1 = x(min) – / 2, a2 = a1 + , a3 = a2 + , …; формирование интервалов заканчивается, как только для конца aν+1 очередного интервала выполняется

условие aν+1 > x(max). Расчет границ интервалов проиллюстрирован рис. 3.1.1.

Для расчета интервальных частот и построения полигона и гистограммы воспользуемся программой «Гистограмма» из надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel. Для этого в версиях до Microsoft Excel 2003 включительно выберем в меню «Сервис | Анализ данных» Microsoft Excel пункт «Гистограмма». В версиях Microsoft Excel 2007 и 2010 нужно на вкладке «Данные»

нажать кнопку «» и далее выбрать пункт «Гистограмма».

16

В окне ввода исходных данных программы «Гистограмма» (рис. 3.1.2) укажем входной интервал (ссылку на ячейки A1:A101, содержащие данные об объеме продаж; выделять заголовок столбца и отмечать флажок «Метки» не будем), интервал карманов (ссылку на ячейки C7:C16, содержащие правые границы интервалов), установим флажок «Метки», которые означает, что в первой строке каждого из диапазонов A1:A101 и C7:C16 содержится

текстовый заголовок. Укажем, что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Установим флажок для генерации интегральных процентных отношений — значений выборочной функции распределения, также установим флажок автоматического вывода графика —

гистограммы и кумуляты.

б) результаты расчетов

Рис. 3.1.1. Расчет границ интервалов

Результаты работы программы «Гистограмма» представлены на рис. 3.1.3. В столбце «Правые границы» на рис. 3.1.3, а указаны правые границы интервалов, в столбце «Частота» — интервальные частоты, а в столбце

17

«Интегральный %» — накопленные частоты, рассчитанные программой. На рис. 3.1.3, б представлен график, построенный программой, — на одной диа-

грамме построены гистограмма и кумулята (впоследствии мы разделим этот график на два).

б) графические результаты

Рис. 3.1.3. Результаты работы программы «Гистограмма»

18

19