5. Использование и анализ результатов модели

Рассмотренные этапы являются подготовительными, создающими условия для успешного использования математической модели. На следующем этапе моделирования — этапе получения и интерпретации результатов моделирования — выполняют реализацию модели, т.е. проводят рабочие расчеты по составленной и отлаженной программе с помощью ЭВМ. Результаты этих расчетов позволяют проанализировать и сформулировать выводы о характеристиках процесса функционирования моделируемой системы.

Использование модели выполняется в несколько этапов [161,163]:

1) планирование эксперимента;

2) планирование прогонов;

3) машинный эксперимент;

4) анализ результатов;

5) интерпретация.

Перед выполнением рабочих расчетов на ЭВМ должен быть составлен план проведения эксперимента с указанием комбинаций переменных и параметров и совокупности исследуемых вариантов системы, для которых должно проводиться моделирование, а также стратегии их перебора. Планирование машинного эксперимента призвано дать в итоге максимальный объем необходимой информации об объекте моделирования при минимальных затратах машинных ресурсов.

Основная задача, решаемая на данном подэтапе – построение оптимального плана эксперимента для достижения цели, поставленной перед моделированием (например, оптимизация структуры, алгоритмов и параметров системы, исследуемой методом моделирования на ЭВМ). Для решения этой задачи при работе с имитационной моделью обычно применяют методы общей теории планирования экспериментов.

При планировании экспериментов учитываются:

• цель проекта (анализ или оптимизация);

• степень достоверности исходных данных (при малой достоверности необходимы дополнительные исследования чувствительности модели к вариациям параметров);

• ресурсы календарного и машинного времени.

Планирование прогонов имеет целью получить для фиксированной точки пространства варьируемых параметров возможно лучшие статистические оценки показателей эффективности — несмещенные и с минимальной дисперсией — при определенном объеме вычислительной работы. Может быть поставлена и обратная задача — получить оценки с заданной дисперсией при минимальном объеме работы. Отдельным прогоном (репликой) считается часть процесса имитации, в котором системное время монотонно возрастает.

После составления программы модели и плана проведения машинного эксперимента можно приступить к рабочим расчетам на ЭВМ, которые обычно включают в себя подготовку и проверку наборов исходных данных, проведение расчетов на ЭВМ и получение выходных данных, т. е. результатов моделирования.

Моделирование, как правило, ориентировано на получение стационарных характеристик. В связи с этим первостепенное значение приобретают вопросы о длительности разгонного участка и стационарного режима. Определение времени вхождения в стационарный режим выполняется экспериментально. После этого накопленная статистика сбрасывается, и моделирование продолжается с достигнутого к концу разгонного участка состояния системы. Такая технология предпочтительнее, чем длительное моделирование без сброса.

Даже при функционировании в стационарном режиме происходят статистические флуктуации измеряемых показателей. Поэтому, если время работы в стационарном режиме мало, они могут оказаться недостоверными.

При реализации моделирующих алгоритмов на ЭВМ вырабатывается информация о состояниях процесса функционирования исследуемых систем. Эта информация является исходным материалом для определения приближенных оценок искомых характеристик, получаемых в результате машинного эксперимента, т. е. критериев оценки. Под критерием оценки понимается любой количественный показатель, по которому можно судить о результатах моделирования системы. Критериями оценки могут служить показатели, получаемые на основе процессов, действительно протекающих в системе, или получаемых на основе специально сформированных функций этих процессов. В ходе машинного эксперимента изучается поведение исследуемой модели процесса функционирования системы на заданном интервале времени. Поэтому критерий оценки является в общем случае векторной функцией, заданной на этом же интервале.

Например, для исследования некоторой динамической модели процесс функционирования системы моделируется на некотором интервале времени [0,Т]N-кратно с получением независимых реализацийx_i(t),i=1,2,…N, т.е.Nвременных рядов длительностьюТ. Работа модели на интервале [0,T] называется прогоном модели. Временной ряд, получаемый в результате прогона модели, может использоваться в качестве критерия интерпретации результатов моделирования.N-кратное повторение прогона модели позволяет после соответствующей статистической обработки результатов судить об оценках характеристик моделируемого варианта системы.

Чтобы эффективно проанализировать выходные данные, полученные в результате расчетов на ЭВМ, необходимо знать, что делать с результатами рабочих расчетов и как их интерпретировать. Количество выходных данных и методы их анализа могут быть определены еще на этапе планирования машинного эксперимента. При этом необходимо сохранять только те результаты, которые нужны для дальнейшего анализа. Для обработки результатов моделирования и представления этих результатов в наиболее наглядном виде также обычно используют ЭВМ. Эффективность применения результатов моделирования значительно повышает их представление в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т. п.

По количеству моделируемых реализаций процесса различают одновариантный и многовариантный анализы [162].

Одновариантный анализпозволяет получить информацию о состоянии и поведении проектируемого объекта в одной точке пространства внутренних и внешних параметров. Очевидно, что для оценки свойств проектируемого объекта этого недостаточно. Нужно выполнять многовариантный анализ, т. е. исследовать поведение объекта, в ряде точек упомянутого пространства, так называемом «пространстве аргументов».

Чаще всего многовариантный анализвыполняется в интерактивном режиме, когда исследователь неоднократно меняет в математической модели те или иные параметры, выполняет одновариантный анализ и фиксирует полученные значения выходных параметров. Подобный многовариантный анализ позволяет оценить области работоспособности, степень выполнения условий работоспособности системы и т. п. Многовариантный анализ включает анализ чувствительности, статистический анализ и др.

Одновариантный анализ динамических процессов в проектируемых объектах можно проводить во временной и частотной областях [162]. Анализ во временной области(динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем.Анализ в частотной областиболее специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми математическими моделями при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой спектральными составляющими сигналов, и т. п.

Методы анализа во временной области — это аналитическиеичисленныеметоды интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

F(dV/dt,V,t)=0.

Первые методы имеют узкую область применения, так как далеко не для всех систем дифференциальных уравнений существует аналитическое решение. Численные методы – это методы алгебраизации дифференциальных уравнений, связанной с дискретизацией времени и пространства (см.п.2.2.6).

Анализ в частотной областивыполняется по отношению к линеаризованным моделям объектов. Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо применение для их алгебраизации преобразования Фурье, в котором операторd/dt заменяется на операторjω. Характерной особенностью получающейся системы линейных алгебраических уравнений является комплексный характер матрицы коэффициентов, что в некоторой степени усложняет процедуру решения, но не создает принципиальных трудностей. При решении задают ряд частотω_k. Для каждой частоты решают систему и определяют действительные и мнимые части искомых переменных. По ним определяют амплитуду и фазовый угол каждой спектральной составляющей, что и позволяет построить амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики, найти собственные частоты колебательной системы и т. п.

Если результатами моделирования являются реализации случайных величин, то для них проводят статистический анализ. Цель статистического анализа — оценка законов распределения выходных параметров и (или) числовых характеристик этих распределений [162].

Случайный характер величин Y_j обусловлен случайным характером параметров элементовX_i, поэтому исходными данными для статистического анализа являются сведения о законах распределенияX_i. В соответствии с результатами статистического анализа прогнозируют, например, такой важный производственный показатель, как процент бракованных изделий в готовой продукции.

Статистический анализ при использовании математических моделей осуществляется численным методом — методом Монте-Карло (статистических испытаний). В соответствии с этим методом выполняются Nстатистических испытаний, каждое статистическое испытание представляет собой одновариантный анализ, выполняемый при случайных значениях параметров-аргументов. Эти случайные значения выбирают в соответствии с заданными законами распределения аргументовX_i. Полученные в каждом испытании значения выходных параметров накапливают, послеNиспытаний обрабатывают, что позволяет получить следующие результаты:

— гистограммы выходных параметров;

— оценки математических ожиданий и дисперсий выходных параметров;

— оценки коэффициентов корреляции и регрессии между избранными выходными и внутренними параметрами, которые, в частности, можно использовать для оценки коэффициентов чувствительности.

Статистический анализ, выполняемый в соответствии с методом Монте-Карло, — трудоемкая процедура, поскольку число испытаний Nприходится выбирать довольно большим, чтобы достичь приемлемой точности анализа. Другая причина, затрудняющая применение метода Монте-Карло, — трудности в получении достоверной исходной информации о законах распределения параметров-аргументовX_i.

Интерпретация результатов состоит в переносе их с модели на исследуемую (проектируемую) систему. При этом предполагается, что выводы, сделанные на основе результатов моделирования, будут справедливы и для исследуемой системы (при условии доказанной адекватности модели этой системе) [163].

При подведении итогов моделирования должны быть отмечены главные особенности, полученные в соответствии с планом эксперимента над моделью результатов, проведена проверка гипотез и предположений и сделаны выводы на основании этих результатов. Все это позволяет сформулировать рекомендации по практическому использованию результатов моделирования, например на этапе проектирования системы.