shpory_traktora

2,4) Рассмотрим процесс включения цепи RC под синусоидальное напряжение .

Напряжение u_Cу в установившемся режиме

,(9.26)

где ; ; ; .

Если конденсатор не был заряжен, то :

;

.

Напряжение на конденсаторе будет равно

. (9.27)

Ток в переходном режиме

. (9.28)

Если конденсатор был предварительно заряжен, то

;

.

Из (9.27) и (9.28) видно, что переходный процесс зависит от величины Ψ.

Если , то переходный процесс не возникает и сразу же наступает установившийся режим, так как при этом в момент t = 0 установившееся напряжение равно нулю. Таким образом, имеется полное соответствие между запасом энергии в конденсаторе до включения, и запасом энергии, который должен быть в установившемся режиме в этот момент.

Если включение происходит при Ψ = j, то свободное напряжение  будет наибольшим и в начальный момент имеет значение I_mX_C. Начальное значение свободного тока при этом . Если ωCR > 1, т.е. R < X_C, то в начальный момент времени происходит большой всплеск тока, намного превосходящий амплитуду I_m. Однако такой большой ток протекает незначительную часть периода, так как  и τ < T.

Максимальное значение напряжение  в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды  напряжения на конденсаторе в установившемся режиме

3,1) Апериодическим разрядом конденсатора, заряженного до напряжения  через резистор и катушку индуктивности называется разряд, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения  до нуля, т. е. не происходит пере-Зарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает,  при разряде конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой Доле переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая  часть поглощается в резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электрического

поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле катушки.

3,2) предельный случай апериодического разряда конденсатора имеет место, если сопротивление контура г равно критическому гкр, т. е. корни характеристического уравнения (13-34) вещественные и равные:

Pi = ft = P = -r/2L.      (13-42)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (13-33) дается в этом случае формулой

uCcB = uc = (A1 + A2t)ePt. (13-43)

На основании (13-32) для свободного тока tCB получим:

iCB = i = С (А2 + рАг+ рА4)            (13-44)

-При начальных условиях ис (0) = U0 и i (0) = 0 находим по­стоянные интегрирования Ах = А2 — — pU0. Подставляя зна­чения Лх и А2 в соотношения (13-43) и (13-44), получаем ток и на­пряжение на емкости:

uc = U0(\-pt)e*\          (13-45)

i = — CpZUoteP* = teP*.     (13-46)

Определим также напряжение на индуктивности:

uL = L%=-U0(\+pt)ePt.         (13-47)

Кривые изменения i, ис и uL по форме не отличаются от приве­денных на рис. 13-18ГОТ1 б.          =

3,3) Периодический (колебательный) разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой

При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора , где R_КР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:

p_1,2 = -α ± jω,

где α = R / (2L) – коэффициент затухания свободной составляющей; – угловая частота собственных колебаний контура; Т₀ – период собственных колебаний.

Поскольку , то можно ввести обозначения

, , .

Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях (см. п.п. 5.2.1)

u_Cсв = A e^-αt sin(ω₀t + ψ),

Для свободной составляющей тока имеем

i_св = C A e^-αt (-α sin(ω₀t + ψ) + ω₀ cos(ω₀t + ψ)).

С учетом начальных условий при t = 0, u_C = U₀ , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования:

U₀ = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω₀ cos ψ).

и далее

.

Запишем переходные напряжения и ток:

u_C = U_Cm e^-αt sin(ω₀t + ψ); i = -I_m e^-αt sin(ω₀t + π); u_L= U_Lm e^-αt sin(ω₀t - ψ),

; .

зависимости переходных напряжения и тока u_C, i показаны на рис. 5.15. Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания - это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т₀, например:

3,4) Включение RLC-цепи на постоянное напряжение

Рассмотрим процесс при нулевых начальных условиях, т.е., .

Уравнение цепи запишется в виде

. (9.29)

Его решение

. (9.35)

Ток установившегося режима равен нулю, поэтому

;

.

Начальные условия: i(0) = 0 = A₁ + A₂.

Учитывая, что  , при t = 0 получим

;

;

.(9.48)Закон изменения тока в этом и предыдущем случае один и тот же, только токи отличаются знаками. Напряжение на конденсаторе также изменяется по подобному закону, только в этом случае он заряжается (рис. 9.16 и 9.17).

4,2) Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.

2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока  или напряжения . Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени

1. после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называютустановившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называютсвободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

РАЗДЕЛ №3

1,1) Cущность операторного метода

Сущность операторного метода: функции действительной переменной времени  f(t) ставится в соответствие по определенному правилу функция комплексной переменной F(S) такая, что дифференциальные уравнения функции действительной переменной превращаются    в    алгебраические    уравнения    функции    комплексной    переменнойf(t) ÷>F(S).

Функцией действительной переменной в этом случае называется оригинал, а функция комплексной переменной - изображением.

1,2) Преобразование Лапласа представляет собой математический метод решения линейных дифференциальных уравнений. Преобразование Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению. Как известно, линейные цепи, и фильтры в первую очередь описываются дифференциальными уравнениями, поэтому преобразование Лапласа позволяет легко проектировать частотно-избирательные фильтры. Применение преобразования Лапласа можно свести к следующему алгоритму:

1. Во временной области записывается дифференциальное уравнение, описывающее зависимость выходного сигнала от входного

2. Дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа

3. Алгебраическими методами находится решение уравнения

4. Уравнение выходной функции подвергается обратному преобразованию Лапласа

Преобразование Лапласа непрерывной функции времени f(t), которая определена только для положительного времени (t > 0) математически выражается как:

       (1)

где s(t) — комплексное число s = σ + jω

1,3) Линейность преобразования Лапласа. Так как формула прямого преобразования линейна относительно подынтегрального сомножителя f(t), то преобразование линейно — изображение суммы оригиналов равно сумме изображений слагаемых.Изображение простейших функций времени. Так как преобразование является односторонним, то все рассматриваемые функции определены своими выражениями лишь приt > 0, а при t < 0 их значения равны нулю. Поэтому при нахождении изображения экспоненты f(t) = e^–t необходимо учитывать, что речь идет о функции, изображенной на рис. 19.2, а.

a)  б)

Непосредственное применение интеграла прямого преобразования дает

.(На верхнем пределе экспонента исчезает, так как Re(s) =  > 0). Это — единственная из множества формул преобразования Лапласа функций, которую полезно запомнить. 

Полученный результат приводит к изображению единичной функции f(t) = 1(t) (рис. 19.2, б). Найдем его, принимая в формулах для экспоненты  = 0. Таким образом, 1(t) имеет изображение 1/s. По основной формуле преобразования изображение –функции . Действительно, подынтегральная функция отлична от нуля лишь при t = 0, когда экспонента равна единице, а  по определению. Отсюда следует, в частности, что нижний предел в интеграле Лапласа следует принимать равным (– 0), что существенно лишь для функций, неограниченных в начальный момент времени — содержащих слагаемое (t). Обозначим соответствие оригинала и изображения в символической форме f(t)   F(s). Имеем ; ; .Наиболее часто встречающиеся изображения других функций приведены в Приложении 4. Значительное число изображений других функций можно найти в Л.16. Расширить перечень указанных функций можно с помощью теоремы смещения, согласно которой изображение функции f(t), умноженной на экспоненту e^–t, равно  F(s + ):

1,5) Формула разложения.

Переход от изображения  к функции времени часто производят с помощью формулы

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией , правая часть — соответствующей ей функцией времени

2,1) Закон Ома для k-й ветви

. (10.20)

Следует отметить, что структура записи операторного сопротивления ветви и комплексное сопротивление той же ветви тождественны. Одно из другого можно получить заменой p на jω, т.е. Z_k(p) ® Z_k(jω).

2,2) Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

 .

Второй  закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

 .

2,3)

РАЗДЕЛ 4

1,1)

1,2) При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

;

.