Matematichesky_analiz
.docxМатематический анализ
Вопросы к экзамену.
Дифференциальное исчисление функций
вида
-
Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали.
-
Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и существованием производной.
-
Правила вычисления производной от суммы, разности, произведения, частного функций.
-
Производная сложной функции.
-
Дифференцируемые функции. Теорема о связи дифференцируемости с существованием производной.
-
Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
-
Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Производная обратной функции, параметрический заданной, неявной. Логарифмическая производная.
-
Таблица производных.
-
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу.
-
Правила Лопиталя. Сведение неопределенностей вида [00-00], [0 • 00], [0°], [000], [100] к неопределенностям
[ 0] и [00]
[ 0] [00]
-
Признак монотонности функции на промежутке.
-
Необходимое условие экстремума функции в точке. Достаточные условия.
-
Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости.
-
Асимптоты функции.
-
Общая схема исследования функции.
-
Понятие функции двух и нескольких переменных. График, линии и поверхности уровня.
-
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
-
Частные производные первого и высших порядков. Частные дифференциалы, полный дифференциал. Второй дифференциал.
-
Градиент функции нескольких переменных, его геометрический смысл. Производная по направлению.
-
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Интегралы. Ряды. Дифференциальные уравнения.
-
Понятие первообразной функции. Теорема об общем виде первообразной.
-
Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица интегралов.
-
Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Приемы интегрирования: методы подстановки и подведения под знак дифференциала.
-
Интегрирование по частям.
-
Интегрирование рациональных дробей.
-
Определенный интеграл и его геометрический смысл. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Достаточное условие интегрируемости. Основные свойства определенного интеграла.
-
Теоремы об интегрировании неравенств.
-
Теоремы о среднем в интегральном исчислении.
-
Интеграл с переменным верхним пределом и его производная. Формула Ньютона-Лейбница.
-
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
11. Несобственный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур.
-
Понятие числового ряда и его сходимости. Геометрический ряд. Необходимое условие сходимости числового ряда.
-
Арифметические свойства сходящихся рядов. Теорема о сходимости остатка ряда.
-
Признаки сходимости положительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).
-
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
-
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
-
Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
-
Ряд Маклорена. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.
-
Дифференциальное уравнение первого порядка. Общее и частное решение.
-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и метод их решения.
-
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.