Тема 8. Непрерывные случайные величины

Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) = P{ < x} непрерывна и дифференцируема для всех хR, за исключением, быть может, конечного или счетного числа точек.

Функция р(х) = F '(х) = (8.1)

называется плотностью распределения (вероятностей) непрерывной с.в. ξ.

Закон распределения непрерывной с.в.  может задаваться, наряду с ее функцией распределения F(х), также и плотностью распределения р(х), поскольку, исходя из плотности распределения р(х), можем найти ф.р. F(х) по формуле F(х) = (8.2)

Функция распределения F(x) непрерывной с.в.  обладает свойствами, аналогичными свойствам функции распределения дискретной с.в. (кроме свойства 3⁰):

1⁰) определена при всех xR и 0  F(x)  1;

2⁰) является неубывающей функцией: если x₁ < x₂, то F(x₁)  F(x₂);

3⁰) является непрерывной функцией: для всехx₀R;

4⁰) удовлетворяет предельным соотношениям: .

Плотность распределения р(х) обладает следующими основными (характеристическими) свойствами.

1. Плотность распределения является неотрицательной функцией: р(х)  0 для всех х  R. (8.3)

2. Площадь фигуры, ограниченной графиком плотности распределения и осью абсцисс, равна единице: (8.4)

Теорема. Пусть непрерывная с.в. ξ имеет плотность распределения р(х) и функцию распределения F(х). Обозначим через <х₁, х₂> один из интервалов (конечный или бесконечный) вида [х₁, х₂], [х₁, х₂), (х₁, х₂], (х₁, х₂). Тогда

Р{ξ<х₁, х₂>} = F(х₂) – F(х₁) = (8.5)

Замечание. Из этой теоремы вытекает, в частности, что если плотность распределения р(х) с.в. ξ нулевая (или функция распределения F(х) постоянна) на некотором интервале <х₁, х₂>, то с.в. ξ не принимает там значений: P{<x₁, x₂>} = 0.

Рис.8.1. Графическая интерпретация

вероятности P{< x₁, x₂ >}

Вторая часть формулы (8.5) имеет следующий геометрический смысл: вероятность P{<x1, x2>} равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения p(x), осью абсцисс и прямыми x = x1, x = x2 (на рис. 8.1 заштрихованная

область).

Математическим ожиданием (средним значением) непрерывной с.в. ξ с плотностью распределения р(х) называется величина . (8.6)

При этом предполагается, что интеграл в правой части формулы (8.6) абсолютно сходится, т.е.

. (8.7)

В противном случае говорят, что математического ожидания у с.в. ξ не существует.

В частности, если все возможные значения непрерывной с.в. ξ принадлежат конечному интервалу (a, b), т.е. p(x) = 0 при x (a, b), то условие (8.7) выполняется и всегда существует

. (8.8)