![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей
- •Тема 1. Пространство элементарных исходов и события. Операции над событиями и отношения между ними
- •Тема 2. Классическое определение вероятности
- •Тема 3. Геометрическое определение вероятности
- •Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Тема 5. Формулы полной вероятности и байеса
- •Тема 6. Схема бернулли. Предельные теоремы в схеме бернулли
- •Тема 7. Дискретные случайные величины
- •Тема 8. Непрерывные случайные величины
- •Тема 9. Законы распределения случайных величин
Тема 2. Классическое определение вероятности
Если
все элементарные исходы испытания
являются равновозможными и их число
конечно, то вероятность наступления
события А
в результате этого испытания равна
отношению числа N(A)
благоприятствующих событию А
исходов к общему числу N
всех элементарных исходов испытания:
P(A)
=
.
Для применения данного классического определения вероятности необходимо вычислить значения N и N(A). Для того чтобы иметь некоторые стандартные приемы при расчетах по схеме классической вероятности, приведем некоторые сведения из комбинаторики – раздела математики, посвященного решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Правило умножения. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие можно выполнить n2 способами, и так до k – го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 × n2 × … × nk способами.
Правило сложения. Пусть какие-то k действий взаимно исключают друг друга. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, и так до k – го действия, которое можно выполнить nk способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n1 + n2 + … + nk способами.
Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенный в определенном порядке. Две перестановки из n элементов отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число перестановок из n элементов равно
Pn = n! = 1·2·3·…·(n – 2)·(n – 1)·n .
По определению полагается P0 = 0! = 1.
Размещением
из n элементов по k
называется упорядоченный
набор
из k
элементов, выбранных из данных n
элементов (k
£
n).
Два размещения из
n
элементов по
k
отличаются друг от друга либо порядком,
либо составом своих элементов. Число
всех возможных размещений из n
по k
равно
.
Число всевозможных перестановок из n элементов по k, в которых элементы могут повторяться, равно nk .
Сочетанием
из n элементов по k
называется
неупорядоченный
набор
из k
элементов, выбранных из данных n
элементов (k
£
n).
Два сочетания отличаются друг от друга
только составом своих элементов. Число
сочетаний из n
элементов
по
k
равно
Приведенные выше сведения из комбинаторики представлены в следующей схеме.
Классическая
схема подсчета вероятностей пригодна
для решения многих практических задач.
Рассмотрим, например, некоторое множество
из n
элементов, среди которых по некоторому
признаку выделено подмножество из n1
элементов (n1
n),
которые назовем “отмеченными”. Это
могут быть изделия (годные и бракованные),
семена (всхожие и нет) и т. п. Из этого
множества элементов наугад без возвращения
извлекаются k
элементов. Тогда вероятность
того, что в выборке будет ровноk1
“отмеченных” элементов (k1
k)
определяется по формуле гипергеометрических
вероятностей:
.