Задачи вар. 6

Задание 1. Приведите доказательства справедливости закона тяготения Ньютона в Солнечной системе. Найдите ускорение свободного падения на Луне и оцените свой вес на Луне, исходя из знания, что ее масса в 81 раз меньше, чем у Земли.

Значение гравитационного ускорения на поверхности планеты можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

где G-гравитационная постоянная для данной планеты.

В нашем случае возьмем из справочника значение G*M для Луны оно будет равно: 4.903·10¹² м³/с² радиус Луны равен 1737,1*10³ м, отсюда g для Луны будет равна

g=4.903·10¹²/(1737,1*10³)²=1,62 м/с²

Теперь найдем мой вес.

Моя масса на Земле равен 56 кг, отсюда по формуле:

теперь найдем мой вес на Луне:

P=m*g

P=56*1.62= 90,72 кг*м/с²

Ответ: ускорение g=1.62 м/с², масса равна 90,72 кг*м/с²

Задание 2. Поясните «парадокс длины» специальной теории относительности. Определите относительную скорость движения, при которой сокращение линейных размеров тела составляет 10%. Чем отличается общая теория относительности от специальной? Приведите экспериментальные подтверждения верности теории Эйнштейна.

Пусть стержень длины L движется (вдоль своей длины) со скоростью υ относительно некой системы отсчёта. В таком случае в фиксированный момент времени расстояние между концами стержня составит:

L’=√(1-(υ/c)²)*L,

где L’-расстояние между концами при движении, υ-скорость движения, с = 3·10⁸ м/с. Выразим из предыдущего уравнения скорость движения:

L’/L=√(1-(υ/c)²)

(L’/L)²=1-(υ/c)²

1-(L’/L)²=(υ/c)²

√(1-(L’/L)²)= υ/c

υ=√(1-(L’/L)²)c

Теперь найдем скорость, подставив соответствующие значения из условия и константы:

υ=√ (1-(0,9)²)*300*10⁶

υ=130*10⁶ м/с

Ответ: скорость движения стержня равна 130*10⁶ м/с.

Задание 3. Приведите значения к.п.д. для типичных тепловых станций. Если пар поступает на турбину при температуре +177⁰С, а окружающий воздух имеет температуру +15⁰С, определите максимально возможный к.п.д. этой паровой турбины. Назовите макроскопические и микроскопические свойства энтропии. Вычислите изменение энтропии в процессе превращения 1 моль воды в пар при температуре кипения.

ответ

Для расчета к.п.д. воспользуемся формулой:

КПД = (T1 − T2)/T1,

где Т1,Т2-температура поступающего газа и окружающей среды.

Подставив температуру из условий (в 0 кельвина) получим:

КПД_max = ((177 + 273) - (15 + 273) \ (177 + 273) = 0,36 = 36%.

Ответ: максимально возможный к.п.д. равен 36 %

ответ

Молярная масса воды - 18 г/моль, т.е. воды имеем 18

Теплота парообразования - dQ = r·m. r = 23 Дж/кг - удельная теплота парообразования воды.

dS = dQ / Т

Изменение энтропии= 0,018·23 / 100 = 0,00414 Дж/К.

Ответ: изменеие энтропии составляет 0,00414 Дж/К.

Задание 4. Пусть кинетическая энергия невозбужденного электрона в атоме водорода 10 эВ. Найдите импульс электрона, длину волны де Бройля и сравните ее с размерами диаметра орбиты электрона (10^-10 м), рассчитанной на основе постулатов Бора. С точки зрения волнового движения можно ли говорить о движении его по определенной орбите?

ОТВЕТ

Для решения задачи оценим длину волны электрона. h = 6,62·10^-34 Дж·с - постоянная Планка; m = 9,11·10^-31 кг - масса электрона; Т.к. Е = m·V²/2, р = m·V, получаем:

р = (2m·Е)^1/2 = (2·9,11·10^-31·10·1,6·10^-19)^1/2 = 1,71·10^-24 кг·м/с.

л_Б = h/р = h/(2m·Е)^1/2 = 6,62·10^-34/(2·9,11·10^-31·10·1,6·10^-19)^1/2 = 3,88·10^-10 м = 0,388 нм.

Ответ: Импульс электрона равен 0,388 нм.

Полученное значение длины волны сравнимо с размером диаметра орбиты электрона.

С точки зрения волнового движения говорить о движении его по определенной орбите нельзя. Электрон образует нечто похожее на облако.

Задача 5. Оцените, за сколько времени произойдет химическая реакция при температуре 70C, если при температуре 50C она протекает за 2 мин. 15 с, при этом известно, что в данном температурном интервале  = 3?

ОТВЕТ

Для решения задачи используем правило Вант-Гоффа. При увеличении температуры с 50 до 70C скорость реакции в соответствии с этим правилом возрастает:

v(t₂)/v(t₁) =  ^{(t2 - t1)/10} = 3^{(70 - 50)/10} = 3² = 9.

Скорость реакции обратно пропорциональна времени реакции:

v(t₂) / v(t₁) = Т(t₂) / Т(t₁),

Т - время реакции при различных температурах.

Переведем время в секунды - 135 с. Выразим отсюда Т(t₂):

Т(t₂) = Т(t₁)·v(t₂)/v(t₁) = 135·(1/9) = 15 с.

Ответ: Время химической реакции 15с.

Задание 8. Поясните понятие равновесного излучения, модели абсолютного черного и абсолютно белого тела. В чем смысл гипотезы Планка о дискретном характере испускания света и ее значение? Насколько были решены при этом противоречия в теории теплового излучения? Определите температуру звезды Ригеля ( Ориона), в спектре которой максимум энергии приходится на длину волны 1930*10^-10 м.

ОТВЕТ

Для решения задачи применим закон смещения Вина:

λ_макс.=0,0028999/Т,

где λ_макс- длина волны с максимальной интенсивностью в метрах, T — температура в кельвинах. Выразим из этого уравнения температуру:

Т=0,0028999/ λ_макс.

Подставим значения из задачи получим:

Т=0,002899/1930*10^-10

Т=15025,39 ⁰К

Ответ: Т=15025,39 ⁰К

Задание 9. Считая светимость Солнца постоянной, определите, какую долю массы Солнце потеряет за свою жизнь из-за излучения.

ОТВЕТ

Светимость солнца равна 3,8*1026 Вт, из уравнения Энштейна

E=mc²

выразим массу:

m=E/ c²

где С-скорость света в вакууме, Е- энергия.

Подставив соответствующее значения получим:

m=3.9*10²⁶/300*10⁶ =4,33*10⁹ кг/с

такова потеря массы в секунду. Есть мнение, что Солнце проживет 9 млрд лет, что значит

9*10⁹*365*24*3600=2,81*10¹⁷ сек., отсюда потери массы за всю жизнь Солнца будет равен

2,81*10¹⁷*4,33*10⁹=1,22*10²⁷ кг, что соответствует 1,22*10²⁷/1,9891*10³⁰=6,1*10^-4

Ответ: потеря составит 6,1*10^-4 от доли Солнца

Задание 10. Чистая первичная продуктивность тропических лесов составляет 2016 г сухой массы на 1 м². На сколько тонн в год уменьшается фотосинтетическая фиксация углерода и выделение кислорода в литрах, если их площадь уменьшается на 100 тысяч км² в год?

ОТВЕТ

Для решения задачи составляем пропорцию.

Потеря сухой массы составит 2,016·10¹⁴ г/год.

Из уравнения фотосинтеза: 6СО₂ + 6Н₂О > С₆Н₁₂О₆ + 6O₂ получаем, что кислорода выделяется в шесть раз больше, чем глюкозы (она является сухой массой).

Молярная масса глюкозы - 180 г/моль.

Молярная масса кислорода - 32 г/моль.

Молярная масса углерода - 12 г/моль.

Из пропорции получаем, что фотосинтетическая фиксация углерода уменьшается на 1,34·10¹⁴ г/год = 1,34·10⁷ т/год.

Ответ: фотосинтетическая фиксация углерода уменьшается на 1,34·10⁷ т/год.