1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса

Применение теоремы Остроградского–Гаусса (1.26) особенно удобно для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов. В этом случае можно так выбрать гауссову поверхность, что поток напряженности поля через нее легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении напряженности поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1. Исходя из симметрии распределения заданной системы зарядов в пространстве необходимо построить силовые линии поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

2. Выбрать “удобную” замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:

а) она должна проходить через исследуемую точку;

б) площадь поверхности должна быть известна;

в) модуль напряженности поля должен быть постоянен в точках всей поверхности или хотя бы ее части;

г) угол между и внешней нормалью к поверхности должен быть известен в любой точке поверхности (это обеспечивается выполнением п. 1).

3. Определить поток напряженности поля через выбранную поверхность. Если выполнено условие п.2в, то

,

где – постоянный модуль напряженности поля во всех точках части поверхности.

4. Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S.

5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.

7. Диэлектриками называют вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. В диэлектриках нет свободных носителей зарядов – заряженных частиц, которые под действием электрического поля могли бы прийти в упорядоченное движение и образовать электрический ток проводимости. К диэлектрикам относятся все газы (если они не подверглись ионизации), некоторые жидкости и твердые тела. Удельное электрическое сопротивление диэлектриков Омм, тогда как у металлов Омм. Особенности поведения таких веществ в электростатических полях объясняются, прежде всего, их молекулярным строением. Электрически заряженные элементарные частицы, входящие в состав молекул диэлектриков, достаточно прочно связаны друг с другом внутриатомными силами. Электрические заряды, входящие в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой, называются связанными зарядами. Заряды, не связанные с перечисленными частицами вещества, называются свободными. Это заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля (свободные электроны в металлах и полупроводниках, ионы в электролитах и газах, электроны и ионы в плазме), положительные заряды ионов кристаллической решетки металлов, избыточные заряды, сообщенные телу. Рассмотрение поведения диэлектриков в электростатических полях мы начнем с изучения характеристик связанных зарядов.

1. Диполь в поле

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны: суммарный заряд электронов и атомных ядер в составе молекул равен нулю. Но молекула обладает электрическими свойствами: ее можно рассматривать как электрический диполь с дипольным моментом , гдеq – суммарный положительный заряд всех атомных ядер молекулы, а – вектор, проведенный из “центра тяжести” электронов в молекуле в “центр тяжести” положительных зарядов атомных ядер (рис. 2.1).

Рассмотрим поведение молекулярного диполя в однородном электрическом поле.

На заряды диполя в поле будет действовать пара сил:

, ,

. (2.1)

Данная пара сил, действуя совместно на заряды диполя, будет создавать вращающий момент , направление которого указано на рис. 2.1. Итак, момент сил, действующих на диполь в однородном поле равен

. (2.2)

Действие момента сил будет приводить к повороту диполя таким образом, чтобы направления дипольного момента и напряженности электрического поля совпали. Этот же результат можно получить из энергетических представлений. Суммарная потенциальная энергия зарядов диполя определяется как .

Учитывая связь напряженности поля и разности потенциалов (1.18) для однородного поля можно получить . Действие электрических сил приводит диполь в состояние устойчивого равновесия, когда его потенциальная энергия минимальна, т.е.,.

При внесении диполя в неоднородное электрическое поле, напряженность которого в разных точках пространства разная, . Если обозначить модули напряженности поля в точках расположения зарядов диполя каки, то

.

Таким образом, в неоднородном поле на диполь будет действовать сила .

Из-за теплового движения дипольные моменты молекул любого диэлектрика, не внесенного в поле, ориентированы беспорядочно так, что суммарный дипольный момент молекул диэлектрика в любом его объеме равен нулю.