5. Связь напряженности и потенциала.

Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение (1.15) позволяет по найденным значениям напряженности поля рассчитать потенциал поля в любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки отсчета потенциала, т.е. той точки, где его значение условно принято за ноль. Данное соотношение носит название интегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля: . (1.17)

Напомним, что при определении потенциала точки поля, согласно (1.17), осуществляется расчет удельной работы поля по переносу пробного заряда.

Из соотношения (1.12) следует, что . С другой стороны,. Тогда. Левая часть равенства представляет собой скалярное произведение вектораи вектора. Тогда. Поскольку, то

Последняя система позволяет записать, что

.

Таким образом,

. (1.18)

Последнее равенство можно записать иначе, в операторной форме, обозначая . Следовательно,

. (1.19)

Выражения (1.18) и (1.19) носят название дифференциальной связи напряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по найденным значениям потенциала определить напряженность поля. Поскольку градиент скалярной функции – это вектор, направленный в сторону ее наискорейшего возрастания, то из (1.19) следует, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графи-чески представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, мы будем изображать сечения этих поверхностей в виде эквипотенциальных линий (эквипотен-циалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

Разность потенциалов между двумя точками пространства (рис.1.13), согласно (1.13) равна . Если эти точки принадлежат одной эквипотенциали, то, а векторнаправлен вдоль эквипотенциали. Нулевое значение скалярного произведениявозможно лишь при.

Следовательно, соотношение (1.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис.1.14).

6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме

Основная теорема электростатики была выведена в 1829 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1830г. применил ее к расчету электростатических полей.

Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15). Назовем элементарным потоком напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности S величину

, (1.20)

где – вектор площади элемента поверхности,– вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента. Справедливы соотношения:;. Малый элемент поверхностивыбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

. (1.21)

При вычислении (1.21) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхностиS. Например, в случае замкнутой поверхности S в дальнейшем будем считать векторы внешними нормалями, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.

Из (1.21) видно, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S силовые линии поля перпендикулярны векторам , т.е. “скользят” по поверхности. С другой стороны, поток максимален, если поверхностьS расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним из математики понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис.1.16). Мерой телесного угла является отношение площади элемента , вырезаемого конической поверхностью угла на сфере радиусаr с центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

.

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м². Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна , то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равенср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17). Выделим на этой поверхности элемент площадью , “вырезаемый” из нее телесным угломс вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент, согласно (1.20), в СИ равен

.

Тогда полный поток вектора напряженности через всю замкнутую поверхность можно найти как

. (1.22)

Кружок на значке интеграла означает, что суммирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:

где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения системы, получим

. (1.23)

Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален сумме этих зарядов.

Рассмотрим теперь точечный заряд , расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис.1.18). В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхностьS на две части: и. Полный поток напряженности через всю поверхностьS равен алгебраической сумме потоков через эти части:

.

Однако если для всех элементов поверхности углы между векторамии внешними нормалямитупые (при, то для всех элементов поверхностиэти углы острые. Следовательно,

, .(1.24)

Поскольку поверхности ивидны из точки расположения зарядаQ под одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),

.

Отсюда, с учетом (1.24), получаем

. (1.25)

Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

. (1.26)

Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определяется выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен (см. 1.2). В других системах единиц он может быть другим.