диск по ИЭТ / Текст

входит совокупность коэффициентов регенерации. Рассмотрим эту совокупность, предварительно введя несколько определений.

Регенерирующий теплоноситель – теплоноситель, воспринимающий теплоту регенерируемого теплового отхода. Например, регенерирующими теплоносителями могут быть компоненты горения, подогреваемые с использованием теплоты газовых отходов ТТР в соответствующих регенеративных элементах тепловой схемы ТТУ.

Потенциал регенерации теплового отхода ТТР:

•для теплоты газовых и шлаковых отходов – количество теплоты, отводимое от соответствующего материального потока при его охлаждении до температуры окружающей среды. Например, для газовых отходов (суммы газовых отходов топочного и технологического процессов)

∆Qгоmax = Qго(tог )−Qго(tос),

где tог, tос – температуры отходящих газов и окружающей среды;

•для теплоты охлаждения технологического продукта – количество теплоты, отводимое от материального потока продукта при его охлаждении от tmax – максимальной температуры материала в пределах ТТР до tout – температуры материала на выходе из ТТУ для последующего использования:

∆Qтпmax = Qм(tmax )−Qм(tout );

•для тепловых отходов ТТР, не связанных с материальными потоками технологического продукта, газовых и шлаковых отходов,

– величина самого теплового отхода. Например, для Qостепл – потерь

Размерность тепловых отходов и потенциалов их регенерации – кВт либо кДж/(кг технологического продукта).

Пусть в некоторой тепловой схеме теплотехнологический реактор характеризуется наличием Nотх тепловых отходов, причем для каждого j-го отхода потенциал регенерации составляет величину ∆Qmaxj .

Парциальный коэффициент регенерации j-го теплового отхода ТТР i-м теплоносителем

теплоты газовых отходов окислителем и топливом; rтп, ок,rтп, т,rтп, им–

21

парциальные коэффициенты регенерации теплоты технологического продукта окислителем, топливом и исходным материалом соответственно.

Коэффициент комплексной регенерации j-го теплового отхода ТТР

Некоторые аспекты реализации в среде Mathcad процедур расчета тепловых балансов и параметров тепловых схем ТТУ иллюстрируются задачами 3.1 – 3.5.

При составлении уравнений тепловых балансов топливных высокотемпературных ТТУ требуется рассчитывать Qпг – тепловой поток с

продуктами горения и qос – плотность теплового потока посредством

теплопроводности через ограждение реактора в окружающую среду. Процедуры расчета этих величин изложены в задачах 3.1 и 3.2 соответственно.

В задаче 3.1 исходными данными являются видимый расход газового топлива В, м3/с, удельные выходы компонентов продуктов горения Viпг , температура продуктов горения tпг . Искомая величина – тепловой поток с продуктами горения

компонентов продуктов горения, зависящие от температуры. Эти температурные зависимости представлены в задаче двумя способами: аппроксимирующими функциями (пункт 2 текста задачи 3.1) и в табличном виде (пункт 3), причем табулированные функции размещены во внешнем файле capacity.inf .

Процедура расчета плотности теплового потока посредством теплопроводности через многослойное ограждение в окружающую среду реализована в задаче 3.2 на примере трехслойного ограждения. Рассматривается случай одномерной стационарной теплопроводности через плоскую вертикальную стенку. На внутренней поверхности (со стороны рабочего пространства реактора) – граничные условия I рода: задана температура поверхности tвн; на наружной поверхности – граничные

условия III рода:

22

где tнар, tос– температуры наружной поверхности ограждения и окружающей среды, αос – коэффициент теплоотдачи свободной конвекцией на наружной

поверхности ограждения, зависящий от температуры и ориентации поверхности (свод либо под реактора, либо боковая вертикальная стенка). В данной задаче не учитывается радиационный тепловой поток в окружающую среду с наружной поверхности ограждения. Коэффициенты функции α(t) представлены в табл. 3.1. Температурные зависимости теплопроводности слоев ограждения λ0 (t), λ1(t), λ2 (t) описаны полиномами в пунктах 1.3 – 1.4.

Система уравнений представлена в пункте 2.2 текста задачи. Теплопроводность каждого слоя рассчитывается при средней его температуре, в качестве которой принято среднее арифметическое температур граничных поверхностей слоя.

Задача легко модифицируется для другого количества слоев, иных температурных зависимостей теплопроводности материала слоев, других условий теплоотдачи на наружной поверхности ограждения.

Одной из полезных модификаций является получение решения задачи в виде функции, которую можно использовать для выполнения расчетных исследований (см. задачу 3.3). Система уравнений также решается посредством блока Given…Find, но результат решения представлен

векторной функцией четырех аргументов F(tвн,δ0,δ1,δ2), где δ0,δ1,δ2 –

толщины внутреннего, среднего и внешнего слоев ограждения. Согласно записи в тексте программы

у данной векторной функции – семь компонентов, причем компонент с нулевым индексом – это αос , соответственно

tнар = F(t_вн,δ0,δ1,δ2)1 , qос = F(t_вн,δ0,δ1,δ2)2

и так далее. С точки зрения математики, в задаче 3.3 решается система семи уравнений с семью неизвестными (список переменных в правой части

23

равенства (3.4)), имеющая четыре параметра (список переменных в левой части равенства (3.4)).

Уравнения тепловых балансов некоторых ТТР могут содержать тепловые потоки, порождаемые эндоили экзотермическими реакциями, протекающими в массе обрабатываемого материала. При определении таких потоков используются удельные тепловые эффекты реакций, которые

реакции (1.9) водяного газа

H2O +CO ↔ CO2 +H2 +Qr

от температуры T , К, изложен в тексте задачи 3.4. Исходные данные задачи:

•температурные зависимости cp H2O , cp CO , cp H2 , cp CO2 – удельных изобарных молярных теплоемкостей компонентов реакции, кДж/(кмоль К), представленные полиномами вида

cp (Т)= a0 + a1 Т + a2 Т−2 ;

•стандартные теплоты образования компонентов реакции, кДж/кмоль:

Qf H2O = 241,81 103, Qf CO =110,53 103; Qf H2 = 0, Qf CO2 =393,51 103 .

Принимаются равными стандартным (при Т0 = 298 К, p0 =9,81 104 Па) энтальпиям образования компонентов, взятым с

обратным знаком. Стандартные энтальпии образования веществ приведены в справочниках.

Результат решения – температурная функция Qr =Qr (T ). Это задача

из области термохимии, изучающей тепловые эффекты химических реакций

(см. Internet-ресурс www.chem.msu.ru/rus/teaching/eremin1/1-3.html).

Функция Qr (T ) получается путем интегрирования уравнения Кирхгофа

dQdTr = ∆cp ,

где ∆cp – алгебраическая сумма изобарных теплоемкостей исходных

веществ и продуктов реакции с учетом стехиометрических коэффициентов:

∆cp = cp H2O + cp CO −cp H2 −cp CO2 .

Вывод аналитического выражения для этой суммы, равно как и интегрирование уравнения Кирхгофа, выполняются методом символьных преобразований – мощным средством, предоставляемым средой Mathcad (см. пункты 2.1 и 2.2 текста задачи). В результате функция Qr (T ) получена с

точностью до постоянной интегрирования С1 :

Qr (T )= f1(T )+С1 .

Величина С1 определена в пункте 2.3 текста задачи из уравнения

24

Qr (T0 )= f1(T0 )+С1

сиспользованием следствия из закона Гесса: тепловой эффект реакции при

Т0 = 298 К равен алгебраической сумме стандартных теплот образования

продуктов и исходных веществ реакции:

Qr (T0 )=Qf CO2 +Qf H2 −Qf CO −Qf H2O .

Таким образом, температурная функция теплового эффекта реакции водяного газа имеет вид

для константы равновесия рассматриваемой реакции, проинтегрировав уравнение изобары химической реакции (изобару Вант-Гоффа, см. Internet-

ресурс www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/Phys/physchem_24.htm) dTd (ln K p )= − RQTr 2 ,

что и реализовано в пунктах 3.1 и 3.2 (R = 8,31 кДж/(кмоль К) – универсальная газовая постоянная). В результате

ln K p (T )= f3(T )+С2 ,

где С2 – постоянная интегрирования, рассчитываемая по формуле

С2 =ln K p (T0 )− f3(T0 ).

Для определения величины ln K p (T0 ) используем уравнение Гиббса –

Дюгема, которое для изобарно-изотермического процесса, если система находится в состоянии химического равновесия, принимает вид

(см. Internet-ресурс www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/Lab_guide.html).

Здесь ∆G0 – стандартное изменение свободной энергии Гиббса в ходе реакции:

в котором ∆S0 , кДж/(кмоль К), – изменение энтропии химической реакции при стандартных условиях – определяется как алгебраическая сумма энтропий продуктов реакции и исходных реагентов в стандартных условиях с учетом стехиометрических коэффициентов:

∆S0 = ∆S(T0 )= SCO2 + SH2 −SCO −SH2O ;

25

Графики полученных функций Qr (T ) и K p (T ) приведены в пункте 4

текста задачи. Зависимость (3.7) используется в задаче 1.5.

Расчет тепловой схемы металлонагревательной установки, представленной на рис. 3.1, рассмотрен в задаче 3.5.

В решении задачи 3.5 используются уравнение теплового баланса металлонагревательного ТТР

окружающую среду соответственно теплопроводностью через ограждение ТТР, излучением через отверстия в ограждении ТТР, через принудительно

охлаждаемые элементы конструкции реактора; Qпроч – прочие (неучтенные) потери в ТТР; Qхо = BVокcок(tхо)tхо – теплота холодного окислителя, подаваемого в ПО; Qуг = BVпгcпг(tуг)tуг – теплота уходящих газов (на

выходе из ПО); Qпотерь – тепловые потери в ПО; Qir – низшая теплота сгорания топлива; Vок,cок – удельный расход и удельная теплоемкость окислителя (при соответствующей температуре); Vпг,cпг – удельный выход и

удельная теплоемкость продуктов горения (при соответствующей температуре); tго, tхо– температура горячего и холодного окислителя; tог, tуг –

температура отходящих газов, уходящих газов.

При составлении уравнений (3.8), (3.9) принято, что физическая теплота топлива пренебрежимо мала, газовые отходы технологического процесса отсутствуют.

В уравнениях (3.8) и (3.9) необходимо рассчитать тепловые потоки – Qпроч и Qпотерь соответственно.

26

Расчет величины Qпроч , входящей в уравнение (3.8), выполняется с использованием допущения

где kc – коэффициент сохранения теплоты в ПО, посредством которого учитываются потери теплоты Qпотерь .

Система уравнений, включающая (3.8), (3.10) и соотношения для расчета отдельных статей тепловых балансов ТТР и ПО, сформирована и решена в пункте 4 текста задачи. В результате выявлена структура теплового баланса ТТР, рассчитаны величины B, bвид , tуг , а также определены:

•парциальный коэффициент регенерации теплоты отходящих газов окислителем

• коэффициент комплексной регенерации тепловых отходов ТТР

В рассматриваемой тепловой схеме используется один регенерирующий теплоноситель – окислитель, поэтому коэффициент комплексной регенерации теплоты отходящих газов совпадает с найденным

парциальным коэффициентом: Rог = rог, ок .

Значение Rог = 78% свидетельствует об удовлетворительном уровне регенерации одного из тепловых отходов – Qог, хотя в рамках других тепловых схем (например, показанных на рис. 1.1, 1.2) уровень Rог

достигает 90%. Вместе с тем значение RΣ не достигает и 50%, что указывает

на необходимость рассмотрения вариантов регенерации или уменьшения других тепловых отходов ТТР. Комплексная регенерация тепловых отходов способна существенно повысить энергетическую эффективность установки.

4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И РАСЧЕТНЫХ ДАННЫХ

В процессе экспериментальных и расчетно-теоретических исследований нередко возникает задача аппроксимации функции одной или нескольких переменных, заданной в табличном виде, аналитической функцией. При постановке и решении задачи следует:

27

а) выбрать либо «сконструировать» аналитическую функцию, описав ее формулой с неизвестными коэффициентами;

б) выбрать условие приближения аналитической функции к табличной; в) найти неизвестные коэффициенты, обеспечивающие наилучшим

образом выбранное условие приближения; г) оценить качество аппроксимации.

Реализация указанных этапов в среде Mathcad иллюстрируется задачами 4.1 – 4.4.

В задаче 4.1 выполнен поиск аналитического описания тарировочной кривой экспериментального стенда.

Стенд предназначен для исследования деформации образца под действием давления при заданном графике изменения температуры образца во времени. Давление сжатия передается на образец через шток. Расстояние H между торцом штока и основанием, на котором устанавливается образец, характеризует высоту образца. Величина H преобразуется в выходной сигнал напряжения U.

Для тарировки стенда проведены три эксперимента по определению зависимости U от H. Результаты экспериментов представлены в матрице data (см. пункт 1 текста задачи 4.1), причем в первом столбце матрицы приведены значения аргумента hk , а в прочих трех столбцах – соответствующие

значения функции Uk, j , где k – номер строки, j – номер столбца матрицы data; k [0,nrows −1] ; j [1,ncols −1]; nrows , ncols – количество строк и

столбцов матрицы data. Требуется аналитически описать тарировочную кривую – зависимость U = U(H).

В качестве аппроксимирующей функции выбран кубический полином

U аппр(H ,аr)= а0 + а1H + а2H 2 + а3H 3 ,

коэффициенты которого рассматриваются как компоненты вектора а:

а = (а0 ,а1,а2 ,а3 ).

Условием поиска компонентов вектора а выбрано достижение минимума суммы квадратов расхождения значений табличной и аппроксимирующей функции, причем суммирование выполняется по всем исследованным точкам:

Данная оптимизационная задача решается в среде Mathcad посредством блока Given...Minerr (см. пункт 4 текста задачи 4.1). Функция Minerr возвращает значение вектора а, при котором отклонение функции div(а) от

нуля минимально. Для работы функции Minerr искомому вектору а следует присвоить начальное (нулевое) приближение (см. пункт 3 текста задачи 4.1).

Для оценки качества аппроксимации используется среднеквадратичное отклонение σ (см. пункт 5). Сопоставляя величину σ со значениями

28

экспериментально определенной фукции Uk, j , а также анализируя график

тарировочной кривой и характер разброса точек (см. пункт 6), исследователь имеет возможность принять решение: либо удовлетвориться полученными результатами, либо выбрать для аппроксимации иной вид аналитической функциивектора аr, .либо пополнить массив опытных данных и повторить поиск Следует подчеркнуть, что исследователь имеет достаточную свободу в выборе вида аппроксимирующей функции. При этом можно учесть не только характер расположения экспериментальных точек, но и заложить в формулу для аппроксимирующей функции сведения, исходящие из физических особенностей исследуемого процесса (например, наличие асимптот). Именно

поэтому выше был применен термин «конструирование» функции.

Вверсиях Mathcad, начиная с Mathcad 6, на панели инструментов в меню Помощь (Help) содержится раздел QuickSheets (Быстрая справка1). Указанный раздел состоит из решений различных математических задач в виде готовых файлов. Любой файл легко копируется в рабочий документ пользователя (Mathcad Worksheet) и затем может трансформироваться пользователем для своих условий.

Взадаче 4.2 используется заимствованный из QuickSheets пример под названием Polynomial Regression, в котором применяются встроенные функции regress и interp. Задача 4.2 иллюстрирует возможность использования Mathcad для аппроксимации экспериментальных данных полиномом степени k, при этом исходные данные могут представлять функцию одной либо двух переменных. В качестве исходных данных задачи

4.2используются результаты исследования зависимости нормальной

скорости распространения пламени Un от коэффициента расхода окислителя α. Экспериментальные результаты содержатся в файле исходных данных f2.prn.

Взадаче 4.3 анализируются варианты аппроксимации температурной функции константы равновесия K р = K р(T )реакции водяного газа.

Натуральный логарифм константы равновесия вычисляется в пункте 2 текста задачи через константы атомизации по формуле (1.11а) в nrows = 29

где cr – вектор коэффициентов, которые требуется найти, используя массивы

Тi и Yi .

1 Авторы данного пособия не берут на себя ответственность за правильность перевода, т.к. даже в русскоязычных версиях эта позиция остается непереведенной.

29