KursRab_A_13_11__001
.pdf
11
11. Распространение звука в воде.
Петров Алексей
Распространение волн в среде, в которой скорость распространения колебаний переменна описывается следующей задачей Коши
>
> = ;
>
>d x2 A2c3(z)
>
<
z(0) = z0;
>
>
>
>d z
>
:d x(0) = tg 0:
A = cos 0 ; c(z0)
В ней z(x) глубина положения фронта волны ( z = 0 соответствует поверхности, ось z направлена вниз), x положение фронта в горизонтальном на- правлении, 0 угол испускания волны по отношению к горизонту. Скорость распространения волн c(z) в морской воде задается следующей таблицей
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
|
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
|
z (ôóòû) |
c(z) (ôóò/ñ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5.042 |
|
3000 |
4.865 |
|
8000 |
4.918 |
500 |
4.995 |
|
3500 |
4.869 |
|
9000 |
4.933 |
1000 |
4.948 |
|
4000 |
4.875 |
|
10000 |
4.949 |
1500 |
4.887 |
|
5000 |
4.875 |
|
11000 |
4.973 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
4.868 |
|
6000 |
4.887 |
|
12000 |
4.991 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2500 |
4.863 |
|
7000 |
4.905 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Реализовать две процедуры восстановления значений функции c(z), ис-
пользуя локальный сплайн первого порядка (в первой) или кубический сплайн дефекта 1 с условием отсутствия узла (во второй).
2. Реализовать адаптивную процедуру на основе метода Рунге-Кутты 4 порядка для решения поставленной задачи Коши с указанной пользователем точ-
ностью.
3. Для начальных значений 10 < 0 < 10 с шагом = 1 построить таблицу значений z(xM ; 0), ãäå z0 = 2000 футов, xM = 24 ìèëè (1 ìèëÿ = 6076
футов) с пятью верными знаками после запятой. Ответ перевести в метры и выдать только верные цифры.
4. Пусть на глубине 12000 футов находится дно, которое поглощает все звуко-
вые волны, а на поверхности происходит полное отражение звуковой волны (по законам геометрической оптики). Для начальных значений 10 < 0 < 10 ñ
шагом = 1 построить графики траекторий звуковых лучей. Расчеты производить с заданной пользователем точностью.
12
12. Маятник Фуко.
Корнева Любовь
Рассмотрим сферический маятник массы m и длины l (достаточно большой),
совершающий малые колебания вблизи поверхности Земли, с учетом ее вращения (маятник Фуко). Введем декартову систему координат в плоскости, касательной к поверхности Земли в точке подвеса, эта точка будет началом ко-
ординат. Ось Y направим по касательной к меридиану на юг, а ось |
X ïî |
|||||||||||||||||||||||||||
касательной к параллели на восток, ось Z вертикально вниз. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
На маятник действуют сила тяжести |
! |
|
= |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ò |
|
m g , направленная вертикально |
||||||||||||||
вниз, сила реакции (натяжения) нити ! = |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
è ñèëà Êî- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òåëà, |
åãî |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
l |
|
N |
l |
|
N |
l |
|
|
||
риолиса (инерции) ! = |
|
2 |
[ |
! ! |
] |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
||||
|
J |
|
m ! ; v |
|
|
угловая скорость вращения Земли на |
||||||||||||||||||||||
скорость, ! |
cos |
|
) |
|
|
|
x; y; z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= (0 |
! |
'; |
sin |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
; |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
широте ' (на которой подвешен маятник).
Если пренебрегать изменениями высоты тела в виду малости колебаний (по сравнению с длиной подвеса l), то для положения маятника в плоскости Земли
x(t), y(t) получается система уравнений
8
<
>x00 = gx 2! sin ' y0;
l
:
>y00 = gy 2! sin ' x0:
l
Будем рассматривать два варианта движения.
А) В начальный момент времени маятник отклонен от положения равновесия íà óãîë 0 и свободно отпускается.
В) В начальный момент времени маятник находится в положении равновесия (угол отклонения 0 = 0) и ему сообщается начальная скорость v0, направлен- ная вдоль оси X.
1. Составить эквивалентную систему ОДУ первого порядка, поставить для нее задачу Коши. Решить численно полученную задачу, построить графики зависимости решения от времени, а также фазовый портрет в переменных (x; y).
Вычисления следует проводить до заданного момента времени T . При этом конечное положение (x(T ); y(T )) должно вычисляться с точностью не хуже
"x = 0:001.
2.Построить график зависимости координат от времени, а также фазовый портрет системы в переменных (x; y).
3.Определить начальные условия 0 6= 0 è v0, при которых маятник будет проходить через точку равновесия.
13
13. Нелинейное уравнение переноса
Подольский Илья
В первом координатном угле рассматривается уравнение
@u@t + u@u@x = 0;
которое дополняется начальными и краевыми условиями ujt=0 = '(x); x 0; ujx=0 = (t); t 0:
Реализовать следующие три разностные схемы для решения поставленной задачи
Uij Uij 1 |
+ |
(Uij)2 (Uij 1)2 |
= 0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 h |
|
|
|
Uij Uij 1 |
+ Uj |
Uij Uij 1 |
= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
i |
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Uij Uij 1 |
+ Uj |
Uij Uij 1 |
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
h |
|
||
Здесь Uij есть приближенное (вычисляемое) значение точного решения u(xi; tj). Предусмотреть возможность пошагового вывода графика решения на каждом
временном слое, а также вывод в режиме анимации. [4, стр. 334-50, стр. 363-66; 2, стр. 524-27]
Для тестирования и отладки алгоритмов следует построить несколько тестовых примеров. Для этого необходимо ввести в уравнение правую часть f(x; t) и ее аппроксимации Fij во всех рассматриваемых разностных схемах.
14
Часть III Динамический хаос
Следующие четыре задания связаны с исследованием динамических систем,
âкоторых возможно проявление так называемого динамического хаоса. Во всех варантах следует
1.Поставить задачу Коши для заданной системы ОДУ. Для этого задать произвольные начальные данные.
2.Решить численно полученную задачу методом Рунге-Кутты 4-го порядка, построить графики зависимости решения от времени, а также фазовый портрет
решения (т.е. графики в переменных (x; y), (x; z), (y; z)). Вычисления вести до заданного момента времени T .
3. Экспериментально исследовать полученное решение на устойчивость. Для этого внести в начальные данные погрешность 0 и заново решить систему ОДУ
на том же временном интервале. Вычислить норму разности исходного и вновь полученного возмущенного решений (отдельно для каждой компоненты решения). Изобразить на одном и том же координатном пространстве графики исходного и возмущенного решений.
4. Выполнить дополнительное задание.
15
14. Система Хиндмарш - Розе
Щуров Андрей
8
>
>x0 = y ax3 + bx2 z + I;
>
>
<
y0 = c dx2 y;
>
>
>
>:z0 = r [s(x ) z]
Возможные значения параметров: a = 1:0, b = 3:0, I = 2:7, c = 1:0, d = 5:0, r = 0:003 или r = 0, s = 4:0, = 1:6.
Дополнительно для каждой компоненты решения x(t), y(t) и т.д. построить
T |
|
график автокорреляционной функции Rx( ) = Z |
x(t + )x(t) dt, Ry(t) è ò.ä., |
0
применяя к полученному численному решению ту или иную квадратурную формулу. (Выбор квадратуры обосновать.)
Найти количество нулей функций Rx( ), Ry( ), Rz( ) на отрезке [0; T ].
15. Отображение Смейла - Вильямса
Серегин Павел
8
>
>r0 = 1 + (r 1) + " cos ';
>
>
<
'0 = 2';
>
>
>
>:z0 = az + " sin ';
Система записана в цилиндрических координатах ( x = r cos ', y = r sin ',= z).
Начальные данные выбираются на поверхности тора, описываемой двумя параметрами (u; ): r = 1 + 12 cos u, ' = , z = 12 sin u, 0 u; 2 .
Возможные значения параметров: a = 0:2, " = 0:3.
Дополнительно построить три сечения Пуанкаре решения системы ОДУ плос- костями r = constr, ' = const', z = constz. Изобразить полученные сечения как в цилиндрических, так и в декартовых прямоугольных координатах.
16
16. Обобщенное преобразование пекаря
Санаев Иван
8x0 = ; |
äëÿ x ; |
8x0 |
= 1 |
; |
|
äëÿ x > ; |
||||
> |
|
x |
|
|
> |
|
x |
|
|
|
= y |
|
|
|
|
|
1) |
||||
<y0 |
|
<y0 |
= 1 + (y |
|
||||||
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
причем + = 1, + 1.
Дополнительно построить сечения Пуанкаре решения системы ОДУ плоскостями x = constx, y = consty, а также плоскостью Ax + By + D = 0.
17. Аналоговый генератор случайных сигналов
Парусникова Марина
8x0 = x(1 x2 y2) |
|
|
2 2(t)z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= y(1 |
x |
2 |
|
2 |
) |
|
|
|
1(t)xz 2(t)[2y |
|
3(x |
2 |
2 |
) + b]; |
|
|
|||||
>y0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z + |
|
1(t)xy + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
>z0 |
2 |
|
|
2 |
2(t)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема>работает с периодом |
|
|
|
|
|
в три стадии. Периодические функции |
|
|
|||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
обеспечивают включение и выключение процессов, отвечающих за динамику системы на второй и третьей стадиях. Рассмотрим случай T = 10,
1(t) = |
81; |
t 2 |
(8; 9); |
|
2(t) = |
81; |
t 2 |
(9; 10); |
|
|
<0; |
t 2 |
[0; 8] \ [9; 10]; |
|
|
<0; |
t 2 |
[0; 9]: |
|
|
: |
|
|
= |
0:3, a |
= 1: |
|
|
|
Возможные значения параметров: |
|
|
:5 b = 0:9, = 0:2. |
||||||
Дополнительно для каждой компоненты решения x(t), y(t) и т.д. построить
T |
|
график автокорреляционной функции Rx( ) = Z |
x(t + )x(t) dt, Ry(t) è ò.ä., |
0
применяя к полученному численному решению ту или иную квадратурную формулу. (Выбор квадратуры обосновать.)
Найти первые нули функций Rx( ), Ry( ), Rz( ).
17
Литература
1.Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. (Любое издание.)
2.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. (Любое издание.)
3.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. (Любое издание.)
4.Калиткин Н.Н. Численные методы. (Любое издание.)