Численные методы
.pdfЧисленные методы.
1.Источники погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность числа. Значащие и
верные цифры.
При решении различных задач на компьютере, невозможно получить абсолютно точное значение y*, оно всегда содержит некую погрешность. Это следует из ограничения разрядности компьютера.
Причины погрешностей:
-математическая модель является лишь приблизительным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
-исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они получаются либо в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.
-применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.
-при вводе исходных данных в компьютер, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.
- неустранимая погрешность, из-за математической модели и исходных данных. |
- |
|
погрешность метода. |
- погрешность вычисления. |
|
Пусть а – точное значение некоторой величины, а* - известное приближенное значение. Тогда абсолютная погрешность равна (a*)=|a-a*|. Однако по абсолютной погрешности нельзя сказать, большая погрешность или малая. Для этого существует относительная погрешность:
.
Значащими цифрами числа а* называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. ( . Значащую цифру числа а* называют верной, если
абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре (если , то числа 00 имеет 4 верные значащие цифры).
Количество верных значащих цифр числа тесно связано со значением его относительной погрешности. Если число а* содержит N верных значащих цифр, то справедливо неравенство
. Для того, чтобы число а* содержало N верных значащих цифр,
достаточно, чтобы было выполнено неравенство |
. Если число a* |
имеет ровно N верных значащих цифр, то |
и таким образом |
. |
|
2. Погрешность вычисления функции одной переменной. Постановка задачи. Доказательство формулы.
Пусть |
- дифференцируемая в области G функция m переменных, |
|
вычисление которой производится при приближенно заданных значения аргументов |
. |
|
Введем обозначение: пусть [x,x*] – отрезок, соединяющий точку x с точкой x*, и |
. Для |
|
абсолютной погрешности значения y*=f(x*) справедлива следующая оценка: |
|
Доказательство: Оценка вытекает из формулы конечных приращений Лагранжа:
|
Следствие: если x* x, то можно положить |
. Отсюда вытекает |
|
||
приближенное равенство для оценки границ относительных погрешностей: |
, |
||||
где |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Формулы для границ погрешностей функции f(x) одной переменной являются частным случаем при m=1:
.
3. Погрешность вычисления функции нескольких переменных. Обусловленность вычислительной задачи. Число обусловленности для задачи вычисления значения функции.
Пусть |
- дифференцируемая в области G функция m переменных, |
|
вычисление которой производится при приближенно заданных значения аргументов |
. |
|
Введем обозначение: пусть [x,x*] – отрезок, соединяющий точку x с точкой x*, и |
. Для |
|
абсолютной погрешности значения y*=f(x*) справедлива следующая оценка: |
|
Доказательство: Оценка вытекает из формулы конечных приращений Лагранжа:
|
Следствие: если x* x, то можно положить |
. Отсюда вытекает |
|
||
приближенное равенство для оценки границ относительных погрешностей: |
, |
||||
где |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и наоборот. Число
обусловленности можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.
Пусть между абсолютными погрешностями входных данных x и решения y установлено неравенство
Тогда величина называется абсолютным числом обусловленности. Если же установлено неравенство
Тогда величина называется относительным числом обусловленности. Чаще под числом обусловленности понимают относительное число обусловленности. Для плохо обусловленной задачи v>>1.
4. Особенности машинной арифметики. Понятия машинной бесконечности, машинного нуля, машинного эпсилон.
1) Системы счисления: принятый способ записи чисел состоит в представлении их упорядоченным набором цифр. В привычной нам десятичной системе счисления вещественное число х представляют последовательностью символов, которая начинается со знака (+ или -) и продолжается цепочкой десятичных цифр и , разделенных десятичной точкой
Здесь каждой позиции (разряду), которую занимает цифра относительно десятичной точки, отвечает определенная степень числа 10. Для хранения числа в памяти компьютера отводится поле стандартной длина (машинное слово), в котором число записывают в виде последовательности двоичных цифр. По форме представления, способу хранения и реализации арифметических операций существенно различаются на два типа используемых в компьютерах чисел: целые и вещественные.
а) представление целых чисел. Целое число n представляют в виде
, где L – некоторое стандартное для компьютера целое число, - двоичные цифры. Всего для хранения числа n отводят s=L+2 разрядов (один из них для хранения знака). Максимальное число, представимое в компьютере есть . Операции сложения, вычитания и умножения над целыми числами реализованы так, что если результат не превышает по модулю число , то он получается точным.
б) представление вещественных чисел. В современных компьютерах для вещественных чисел принята форма представления с плавающей точкой, когда каждое число представляют в виде
Здесь γ – двоичные цифры. Как правило, число x нормализуется так, чтобы , и поэтому в памяти компьютера хранятся только значащие цифры соответственного нормализованного числа. Число называют мантиссой числа х. В представлении (1) p –
целое число, называемое двоичным порядком. целое число, называемое двоичным порядком.
.
Поскольку |
, то для мантиссы нормализованного числа справедливы оценки |
|
||
|
. В то же время для представления порядка используется конечное число двоичных |
|||
цифр и поэтому – |
|
. Таким образом, для представимых на |
||
компьютере нормализованных чисел имеет |
, где |
. |
||
Числа и |
иногда называют порогом машинного нуля и машинной бесконечностью. |
|
||
В компьютере округление производится по дополнению, поэтому для нормализованных |
||||
чисел границы относительной погрешности равна единице первого отброшенного разряда |
|
|||
мантиссы, т.е. |
(порядок числа не влияет на относительную погрешность |
|
представления). Величина играет в вычислениях на компьютере фундаментальную роль; ее называют относительной точностью компьютера, или машинным эпсилоном.
Погрешность арифметических операций над числами с плавающей точкой равна
, где вместо может быть любая другая операция.
5. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи, основные этапы решения. Скорость сходимости итерационного метода. Интервал неопределенности корня.
Корнем (или решением) уравнения f(x)=0 называется значение , при котором f( )=0.
Корень уравнения называется простым, если f’( ) |
0. В противном случае корень называется |
||
кратным. Натуральное число m называется кратностью корня, при которых |
, для |
||
k=1,2,…,m-1 и |
. Геометрически корень |
соответствует точке пересечения графика |
функции с осью Ох. Корень называется простым если график пересекает ось Ох под ненулевым углом, и кратным, если пересечение происходит под нулевым углом.
Здесь корни |
- простые, а |
- кратные. |
В конкретной задаче часто интерес представляют не все корни уравнения, а лишь некоторые из них. Тогда постановку задачи уточняют, какие из корней подлежат определению (положительные корни, корни из заданного интервала, максимальный из корней и т.д.).
Основные этапы решения
Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществляется в два этапа. Первый этап называют этапом локализации корней, второй – этапом итерационного уточнения корней.
Локализация корней. Отрезок [a,b], содержащий только один корень уравнения, называют отрезком локализации корня . Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации (его длину стараются по возможности сделать минимальной). Но прежде чем приступать к локализации стоит провести предварительное исследование, имеется ли решение уравнения, сколько их и как они расположены на числовой оси.
Теорема: пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. f(a)*f(b)<0. Тогда отрезок [a,b] содержит по крайней мере один корень уравнения f(x)=0.
Итерационное уточнение корней. На этом этапе для вычисления каждого из корней с точностью ε>0 используют тот или иной итерационный метод, позволяющий построить
последовательность |
приближений к корню . Итерационный метод называется |
|
одношаговым, если для вычисления очередного приближения |
используется только одно |
|
предыдущее приближение |
и k-шаговым, если для вычисления |
используется k |
предыдущих приближений. Заметим, что для построения итерационной последовательности
одношаговым методом требуется задание только одного начального приближения |
, в то |
время как при использовании k-шагового метода – k начальных приближений. |
|
Скорость сходимости – одна из важнейших характеристик итерационных методов. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой 0<q<1, если для всех n справедлива следующая оценка:
Пусть одношаговый итерационный метод обладает следующим свойством: существует σ-
окрестность корня такая, что если приближение принадлежит этой окрестности, то справедлива оценка:
Где C>0 и - постоянные. В этом случае р называют порядком сходимости метода.
Лемма 1. Пусть одношаговый итерационный метод обладает линейной скоростью сходимости в некоторой σ-окрестности корня . Тогда при любом выборе начального
приближения из σ-окрестности корня итерационная последовательность не выходит за пределы этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q=C<1 и имеет место следующая оценка погрешности:
Лемма 2. Пусть одношаговый итерационный метод в некоторой σ-окрестности корня
имеет p-й порядок сходимости, где p>1. Пусть δ>0 таково, что δ σ и |
, где С – постоянная |
из неравенства (1). Тогда при любом выборе начального приближения |
из δ-окрестности |
корня итерационная последовательность не выходит за пределы этой окрестности, метод сходится и справедлива оценка
Где |
|
|
|
|
Если функция f непрерывна, то найдется такая малая окрестность |
, имеющая |
|||
радиус >0, в которой выполняется неравенство |
. Для x, принадлежащих этой |
окрестности знак вычисленного значения f*(x) не обязан совпадать со знаком f(x) и, следовательно, становится невозможным определить какое именно значение х из интервала обращает функцию в нуль. Этот интервал называется интервалом неопределенности корня .
6. Метод бисекции решения нелинейного уравнения: алгоритм, геометрическая иллюстрация, условия и скорость сходимости (с доказательством).
Описание метода: пусть требуется с заданной точность ε>0 найти корень уравнения. Отрезок локализации [a,b] (т.е. отрезок, содержащий только один корень ) будем считать заданным. Предположим что функция f непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0.
Для дальнейшего будет удобно обозначить отрезок [a,b] через |
|
|
|
. Примем за |
|||||||||
приближенное значение корня середину отрезка – точку |
|
|
|
|
. Так как положение корня |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
на отрезке |
не известно, то можно лишь утверждать, что погрешность этого |
||||||||||||
приближения не превышает половины длина отрезка |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Уменьшить погрешность приближения можно, уточнив отрезок локализации, т.е. заменив |
|||||||||||||
начальный отрезок |
отрезком |
|
меньшей длины. Согласно методу бисекции |
||||||||||
(половинного деления) в качестве |
берут тот из отрезков |
|
|
и |
, на |
||||||||
концах которого выполняется условие |
|
|
. Этот отрезок содержит искомый |
||||||||||
корень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость сходимости: середина n-го отрезка – точка |
|
|
|
дает приближение к |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
корню , имеющее оценку погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой оценки видно, что метод бисекции сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q=1/2. По сравнению с другими методами, метод бисекции сходится довольно медленно.
Критерий окончания: Итерации следуют вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство . При его выполнении в силу оценки можно принять за приближение к корню с точностью ε.
7. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения. Достаточное условие сходимости, априорная и апостериорная оценки погрешности (с доказательствами), критерий окончания, приведение к виду, удобному для итераций.
Описание метода: чтобы применить метод простой итерации для решения нелинейного уравнения, необходимо преобразовать это уравнение к виду x=ϕ(x). Это преобразование (приведение уравнение к виду, удобному для итераций) можно выполнить различными способами. Функцию ϕ называют итерационной функцией.
Выберем каким либо способом |
и подставим его в правую часть уравнения. Получим |
|
значение |
. Выберем теперь |
и подставим в правую часть уравнения. Продолжая |
этот процесс неограниченно, получаем последовательность приближений к корню, вычисляемых
по формуле . Если существует предел построенной последовательности
То, предполагая функцию ϕ непрерывной, получаем равенство |
. Это значит, что - |
корень уравнения. |
|
Геометрическая интерпретация: |
|
Сходимость метода:
Теорема: Пусть в некоторой σ-окрестности корня функция ϕ дифференцируема и удовлетворяет неравенству
Где 0<q<1 – постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод
сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива следующая оценка погрешности:
Доказательство: использую формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
Здесь |
, где |
- некоторая точка, расположенная между |
. Если |
|
, то |
в силу условия (1). Тогда на основании этого получаем |
Оценка погрешности является априорной. Она показывает, что метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q. Чем меньше q, тем выше скорость сходимости.
Критерий окончания: |
|
Теорема: пусть выполнены условия прошлой теоремы и |
. Тогда верная |
следующая апостериорная оценка погрешности: |
|
Доказательство: в силу равенства из предыдущего доказательства имеем
Откуда
Взяв модуль от левой и правой частей этого равенства, и воспользовавшись неравенством
И получаем требуемое соотношение.
Приведение уравнения к виду, удобному для итераций:
Предположим что производная f’ на отрезке [a,b] непрерывна и положительна. Тогда существуют положительные постоянные m и M такие, что 0<m<f’(x)<M при x принадлежащему
[a,b]. Тогда можно привести изначальное уравнение к виду x=x-αf(x), где α>0. |
|
. И тогда |
||
|
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
8. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Теорема о сходимости (без доказательства), априорная и апостериорная оценки (с доказательствами), критерий окончания, геометрическая интерпретация, трудности использования.
Метод Ньютона делится на два подхода: метод касательных и метод линеаризации.
Метод касательных:
Пусть |
- заданное начальное приближение к корню . В точке |
с координатами |
|
проведем касательную к графику функции y=f(x) и за новое приближение |
примем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Продолжая этот процесс далее,
получим последовательность |
приближений к корню |
. Уравнение |
касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке |
имеет вид: |
Пусть производная не равна нулю. Полагая y=0, замечаем, что абсцисса |
точки пересечения |
касательной с осью Ох удовлетворяет равенству |
|
Выражая из него , получаем расчетную формулу метода Ньютона:
Метод линеаризации: метод Ньютона можно рассматривать как итерационный метод.
Пусть приближение уже получено. Представим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора:
Здесь ξ – некоторая точка, расположенная между x и . Заменяя в уравнении f(x)=0 функцию f(x) главной линейной частью разложения, получаем линейное уравнение
Принимая решение уравнения за новое приближение |
, приходим к той же самой |
формуле метода Ньютона. |
|
Теорема о сходимости: пусть - простой корень уравнения f(x)=0, в некоторой окрестности которого функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая σ-
окрестность корня , что при произвольной выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка
Означающая, что метод сходится с квадратичной скоростью. Следствием оценки является априорная оценка
В которой |
. |
|
Доказательство: так как |
(по определению простого корня), то в силу |
непрерывности функции f’ и f’’ найдется δ-окрестность корня, в которой при некоторых
постоянных α и β выполнены неравенства |
. |
|
Пусть |
, где |
. |
Подставляя x= в формулу Тейлора, получаем равенство
В которой |
. Вычитая из него равенство (1), имеем |
Тогда, приравнивая модули обеих частей этого равенства и используя условия ограниченность модулей производных, приходим к неравенству
Откуда следует справедливость оценки.
На практике предпочтительнее использование простой апостериорной оценки
Справедливость которой обосновывается следующим утверждением: |
|
|
Теорема: пусть выполнены условия теоремы о сходимости и |
|
. Тогда для всех |
|
||
верна апостериорная оценка. |
|
|
Доказательство: из априорной оценки следует, что |
|
|