24)Компоненты и матрица линейного оператора; формулы для компонент линейного оператора. Матрица направляющих косинусов тв. Тела.

Пусть {}– базисы в X и Y

Коэффициенты в расположенииназываются компонентами оператора, а составленная из этих компонент матрица с – матрица данного оператора.

Если пр-во Х и Y евклидовы, а базисы - ортонормированные, то

(*)

Это следует из ф-лы дляi-той компоненты вектора в ортонормированном базисе.

Пусть А*х*у*Z* - сис-ма координат в СО, связанной с АТТ а охуz – неподвижные оси координат

Для компонент оператора ориентацииимеем:

; здесь{}- связанный базис, {} – неподвижный базис, а- единичные векторы подвижных осей Ах'y'z' (т.е. осей A*x*y*z*, отнесённых к у.н. СО)

В силу (*):

Компоненты оператора ориентации, иначе именуютсяНаправляющими косинусами осей x'y'z' по отношению к осям xyz, а его матрицу

Гназывают Матрицей направляющих косинусов тела .

25)Транспонирование линейных операторов. Св-ва матрицы направляющих косинусов.

Пусть , а пр-ваX,Y – евклидовы. Оператор называется транспонированным оператором для оператора, если

Имеем:

Вывод: матрица транспонированного оператораполучается из матр. С операторатранспонированым.

Св-ва матрицы напр-х косинусов:

1)Матр. Напр. Кос. Г – собственная ортогональная:

-

- det Г = 1 (определитель)

2) у матр. Г:

- скалярный квадрат каждого столбца(строки) = 1

- скалярные произведения разных столбцов(строк) = 0.

1)Момент силы относительно точки

Момент силы относительно полюса В-вектор приложенный в т.В и = векторному произв радиус вектора т. приложения на вектор силы: Основны с-ва вытекают из с-в в-во умножения

Свойства:

1)Переход от силы к её моменту-линейная операция ,если силыF и G прилож в одной т.

2)Модуль момента силы определяется ф-лой

3)Направление момента силы определяется условиями , и в-ры

Образуют правую тройку в-ов

4) Линия действия силы – прямая, проходящая в направлении силы через точку её приложения полюс В лежит на линии действия силы. Момент силы хорактерезует вращательный эффект силы

Плечо силы - кратчайшее расстояние от полюса до линии действия силы

2)Вычисление проекции момента силы. Антисимметричные матрицы. Момент силы относительно оси

, где -компоненты в-рав осяхOxyz;

, где x,y,z- координаты т.А в осях Oxyz

Момент силы

Компоненты в-ра в осяхOxyz

(*)

Введём столбцы компонент в-ов

р-во сводится к одному матричному р-ву

, если , матрицаантисимметрична

Последнюю ф-лу (*) можно представить в виде (**)- Ф-лаПуансо, тк в неё не входит z, след проэкция момента ситы на ось не изменится, при сдвиге полюса вдоль этой оси.

Момент силы относительно оси- скалярная величина = проекции на эту ось момента силы относительно точки, лежащей на данной оси. Можно вычислить проэцируя р-ро на ось BZ , вместо последней ф-лы(*)