6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики

Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения можно пронумеровать.

Случайная величина называется непрерывной (в широком смысле слова), если ее возможные значения непрерывно заполняют какой-либо интервал или интервалы.

Случайная величина может быть задана: 1) рядом распределения (дискретная случайная величина); 2) функцией распределения (дискретная и непрерывная случайная величины); 3) плотностью распределения (непрерывная случайная величина).

Рядом распределения дискретной случайной величины называется совокупность всех возможных значений и соответствующих им вероятностей. Вероятностиудовлетворяют условию, где число возможных значенийможет быть конечным или бесконечным.

Функцией распределения случайной величины называется функция, равная ввероятности того, что случайная величинапримет значение меньше:. Для дискретной случайной величины функциявычисляется по формуле, где суммирование ведется по всем значениям, для которых.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределениянепрерывно дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция

.

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна и обладает свойством.

Функция распределения выражается через плотность распределения формулой

.

Вероятность попадания случайной величины на участок отдо(включая) вычисляется по формуле

.

Если случайная величина непрерывна, то.

.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок отдоможет быть вычислена по формуле.

.

Математическое ожидание случайной величинывычисляется по формулам:(для дискретной случайной величины);

(для непрерывной случайной величины).

Дисперсией случайной величиныназывается

.

Дисперсия вычисляется по формулам:

(для дискретной случайной величины);

(для непрерывной случайной величины).

Для вычислений дисперсии может быть использовано свойство дисперсии .

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии.

Начальными и центральнымимоментами -го порядка случайной величиныназываются соответственно,.

Начальные и центральные моменты случайной величины вычисляются по формулам(для дискретной случайной величины);,(для непрерывной случайной величины).называетсякоэффициентом асимметрии, характеризует асимметричность распределения.

называется эксцессом, характеризует крутость кривой плотности распределения.

Типовые задачи для решения в аудитории

1. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, найти математическое ожидание и дисперсию, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.

Решение. - случайное число испытанных приборов, оно может принимать следующие значения:.

Вероятности того, что число испытанных приборов равно данному частному значению, будут

.

Таким образом, ряд распределения будет иметь вид

	1	2	3	4	5
	0,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561

2. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет

вид (закон Релея):

,

Определить: а) функцию распределения; б) моду распределения; в) математическое ожидание.

Решение. а) . Так как,

.

б) Модой непрерывной случайной величины называется ее значение, при котором плотность вероятности максимальная, обозначается М.

.

Таким образом,

Отсюда следует, что .

График плотности распределения вероятностей будет иметь вид

f(x)

a x

в)

2. Случайная величина имеет плотность

Найти: а) коэффициент А; б) математическое ожидание и дисперсию.

Решение. а) Так как все значения случайной величины принадлежат отрез

ку , то, то есть.

б)

.