ЗА, 8 сем / Теория оптимального управления ЗА, 8 сем / 7_Примеры выполнения домашнего задания / Методические указания к практическим занятиям

R(5) = tp(5) ¡ tr(5) = 15 ¡ 9 = 6, R(6) = tp(6) ¡ tr(6) = 21 ¡ 21 = 0.

Таким образом, критический путь включает работы (1,2), (2,4) и (4,6). Эти работы, а также события 1, 2, 4 и 6 имеют нулевой резерв времени. Продолжительность критического пути, а следовательно, и время выполнения проекта равны 21. Результаты расчетов представлены на следующем графике:

5.2.Задания для самостоятельной работы

1.Рассчитать сетевой график, определить критический путь:

à)

½¼

41

á)

â)

ã)

42

ä)

½¼

43

6. ТЕОРИЯ ИГР

Теория игр это особый раздел исследования операций, изучающий математические модели ситуаций, в которых принятие решения зависит от нескольких сторон. Задача теории игр состоит в установлении принципов оптимального поведения игроков, в доказательстве существования ситуаций равновесия, которые складываются в результате применения этих принципов, и разработке методов нахождения таких ситуаций.

6.1. Решение матричной игры в чистых стратегиях

44

Так как верхняя и нижняя цены совпадают, то игра разрешима в чистых стратегиях, при этом первому игроку выгодно придерживаться второй стратегии, а второму игроку третьей. Если игроки будут придерживаться указанных стратегий, то выигрыш первого игрока и, соответственно, проигрыш второго игрока равен ( 1).

6.2. Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Так как нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях не равны (u = ¡1; v = 2), то игра неразрешима в чистых стратегиях.

Будем искать решение игры в смешанных стратегиях. Смешанная стратегия игрока I представляет собой вектор вероятностей выбора

чистых стратегий: x = (x1; x2; x3); ãäå x1 +x2 +x3 = 1; xi ¸ 0; i = 1; 2; 3: Аналогично смешанная стратегия игрока II это вектор вероятностей

выбора чистых стратегий для второго игрока: y = (y1; y2; y3; y4); ãäå

y1 + y2 + y3 + y4 = 1; yj ¸ 0; j = 1; 2; 3; 4:

Заметим, что каждый элемент строки 1 не меньше соответствующего элемента строки 3, т.е. выигрыш первого игрока при выборе им чистой стратегии 1 не меньше его выигрыша при выборе им чистой стратегии 3. Очевидно, что разумный игрок предпочтет стратегию 1. При этом чистая стратегия 1 первого игрока называется доминирующей над его чистой стратегией 3, а стратегия 3 доминируемой стратегией 1.

Аналогично каждый элемент столбца 1 не больше соответствующего элемента столбца 4, и чистая стратегия 1 второго игрока доминирует над его чистой стратегией 4.

Очевидно, что в оптимальное решение доминируемые чистые стратегии войдут с нулевыми вероятностями x¤3 = 0; y4¤ = 0. Поэтому

45

полученную из матрицы ¹

A добавлением модуля минимального элемента

матрицы ко всем ее элементам. В данном случае ко всем элементам матрицы добавляется 3. Такой сдвиг платежной матрицы производится для того, чтобы все ее элементы стали неотрицательными. В этом случае выигрыш первого игрока в любой ситуации неотрицателен, а значит, неотрицательна и цена игры в смешанных стратегиях. Поэтому, решая пару двойственных задач ЛП, можно считать переменные u; v

Прежде чем решать двойственные задачи, удобно сделать замену переменных, тем самым сократив их количество:

и задачи принимают вид:

46

Решая двойственные задачи, получаем оптимальные решения:

Òàê êàê îïòèìàльные значения прямой и двойственной задач совпадают, то v¤ = u¤ = 503 .

Возвращаясь к исходным переменным, вычисляем вероятности выбора чистых стратегий первым игроком:

x¤1 = s¤1 ¢ u¤ = 101 ¢ 5013 = 135 ;

x¤2 = s¤2 ¢ u¤ = 254 ¢ 5013 = 138 :

Аналогично получаем вероятности выбора чистых стратегий вторым игроком:

y1¤ = t¤1 ¢ v¤ = 15 ¢ 5013 = 1013;

y3¤ = t¤3 ¢ v¤ = 503 ¢ 5013 = 133 :

Вспоминая про исключенные из рассмотрения доминируемые стратегии, получаем оптимальные смешанные стратегии игроков:

x¤ = (135 ; 138 ; 0); y¤ = (1013; 0; 133 ; 0):

47

Ñ учетом сдвига матрицы цена игры в смешанных стратегиях равна

5013 ¡ 3 = 1113.

Это значит, что при многократном повторении игры игроку I следует выбирать свою первую чистую стратегию с вероятностью 5

13, а вторую

с вероятностью 8

13. Аналогично второй игрок, чтобы минимизировать свой проигрыш, должен выбирать первую стратегию с вероятностью 10

13,

а третью с вероятностью 3

13. При этом ожидаемый средний выигрыш игрока I (и проигрыш игрока II) будет равен 11

13.

6.3.Задания для самостоятельной работы

1.Решить матричную игру в чистых стратегиях:

48

2. Решить матричную игру в смешанных стратегиях:

49

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1]Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. М.: Èçä-âî ÌÃÒÓ, 2000.

[2]Девятерикова М.В., Заозерская Л.А., Колоколов А.А. Методы оптимизации и исследование операций: Конспект лекций. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006.

[3]Заозерская Л.А., Ильев В.П., Леванова Т.В. Экономико- -математические методы: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения экономического факультета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2004.

[4]Колоколов А.А. Дискретное программирование: Учебное пособие. Омск: Èçä-âî ÎìÃÓ, 1984.

[5]Колоколов А.А., Девятерикова М.В. Алгоритмы перебора

L-классов для задачи о рюкзаке с интервальными данными: Препринт.

50