ЗА, 8 сем / Теория оптимального управления ЗА, 8 сем / 7_Примеры выполнения домашнего задания / Методические указания к практическим занятиям

Стоимость перевозок по данному плану равна

f(x2) = 10 ¢ 5 + 100 ¢ 3 + 10 ¢ 1 + 50 ¢ 2 + 70 ¢ 2 + 60 ¢ 4 = 840:

Переходим на следующую итерацию.

Находим потенциалы для плана x2 из системы уравнений:

v1 ¡ u1 = 5; v2 ¡ u1 = 3; v3 ¡ u1 = 1; v1 ¡ u2 = 2; v3 ¡ u3 = 2; v4 ¡ u3 = 4:

Получаем одно из решений:

u1 = 0; u2 = 3; u3 = ¡1; v1 = 5; v2 = 3; v3 = 1; v4 = 3:

Проверяем полученный план на оптимальность:

¢14 = v4 ¡ u1 ¡ c14 = 3 ¡ 0 ¡ 3 = 0,

¢22 = v2 ¡ u2 ¡ c22 = 3 ¡ 3 ¡ 4 = ¡4 < 0, ¢23 = v3 ¡ u2 ¡ c23 = 1 ¡ 3 ¡ 2 = ¡4 < 0, ¢24 = v4 ¡ u2 ¡ c24 = 3 ¡ 3 ¡ 3 = ¡3 < 0, ¢31 = v1 ¡ u3 ¡ c31 = 5 ¡ (¡1) ¡ 7 = ¡1 < 0, ¢32 = v2 ¡ u3 ¡ c32 = 3 ¡ (¡1) ¡ 6 = ¡2 < 0.

Òàê êàê âñå ¢ij · 0, то план перевозок x2 является оптимальным.

31

3.3. Задания для самостоятельной работы

1. Решить транспортную задачу методом потенциалов.

32

4. ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП) являются математическими моделями многих практических задач, возникающих в экономике, планировании, управлении и других областях. Одним из первых появившихся методов решения задач ЦЛП является метод отсечения.

4.1. Алгоритм отсечения Гомори

Симплекс-метод, использующийся для решения задачи ЛП, не гарантирует целочисленности решения задачи, поэтому для отыскания оптимального решения задачи ЦЛП требуются специальные методы метод ветвей и границ, динамическое программирование, направленный перебор, метод отсечения и другие. Рассмотрим использование первого алгоритма Гомори для решении задачи ЦЛП, который является дробным двойственным алгоритмом отсечения.

Пример 4.1. Решить задачу ЦЛП.

f(x) = x1 + x2 ! min

x1; x2 2 Z:

Итерация 1

Решаем задачу без условия целочисленности двойственным симплекс- -методом. Заключительная таблица имеет вид:

33

Оптимальное решение задачи ЛП x¤2 = (2; 4=3; 10=3; 0; 1; 0) также не является целочисленным, следовательно, опять добавляем отсечение к ограничениям задачи. Построим отсечение, например, по переменной x2.

Ей соответствует уравнение:

13x6 ¡ 13x4 + x2 = 43.

Получаем следующее отсечение Гомори:

¡13x6 ¡ 23x4 · ¡13.

Итерация 3

Вводя дополнительную переменную x7 и добавляя отсечение к симплексной таблице, получаем таблицу:

Решаем новую задачу ЛП. Оптимальная симплексная таблица для этой задачи ЛП имеет вид:

35

Оптимальное решение задачи ЛП x¤3 = (2; 3=2; 7=2; 1=2; 1; 0; 0) не является целочисленным. Добавляем третье отсечение к ограничениям задачи. Построим отсечение, например, по переменной x2. Åé

соответствует уравнение:

12x6 ¡ 12x7 + x2 = 32.

Получаем отсечение Гомори:

¡12x6 ¡ 12x7 · ¡12.

Итерация 4

Вводим дополнительную переменную x8 и добавляем отсечение к симплексной таблице. Получаем следующую таблицу:

Решаем задачу ЛП. Оптимальная симплексная таблица этой задачи имеет вид:

36

Оптимальное решение задачи ЛП x¤4 = (3; 1; 2; 0; 3; 1; 0; 0) является целочисленным. Следовательно, оно также является и оптимальным решением задачи ЦЛП. Решением исходной задачи ЦЛП будет z¤ = (3; 1; 2). Значение целевой функции на этом решении равно f¤ = 4.

Заметим, что в процессе решения задачи ЦЛП можно отбрасывать некоторые отсечения. Эта процедура уменьшает вычисления и не изменяет оптимального решения задачи.

4.2.Задания для самостоятельной работы

1.Решить задачи ЦЛП, используя отсечения Гомори:

à)

f(x) = 3x1 + 2x2 ! max x1 + 7x2 · 15;

x1 ¡ 2x2 · 4; 3x1 ¡ x2 ¸ ¡5; x1; x2 ¸ 0;

x1; x2 2 Z:

á)

f(x) = 4x1 ¡ x2 + x3 ! max x1 + 5x2 + x3 · 15;

2x1 ¡ x2 ¡ x3 ¸ ¡4; x1; x2; x3 ¸ 0;

x1; x2; x3 2 Z:

37

38

5. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ

Реализация многих проектов в различных сферах связано с осуществлением ряда работ (операций, действий), одни из которых могут выполняться одновременно, а другие только в определенной последовательности. Методы сетевого планирования позволяют наглядно представлять ход выполнения проектов, а также определять основные временные параметры.

5.1. Расчет временных параметров сетевого графика

Основными временными параметрами сетей являются ранние и поздние сроки наступления событий. Зная их, можно вычислить остальные параметры сетевого графика: сроки начала и окончания работ и резервы времени событий и работ, а также определить критический путь.

Пример 5.1. Рассчитать сетевой график. Определить критический путь.

½¼

Расчет сетевого графика начнем с определения ранних сроков наступления событий, которые вычисляются по формуле:

предшествует только первое событие. Это события с номерами 2 и 3.

39

tp(j) = minftp(i) ¡ tjig:

i

Вычисление поздних сроков наступления событий начинается с завершающего события. Поздний срок завершающего события совпадает с его ранним сроком, т.е. tp(6) = tr(6) = 21. Теперь определим поздние

сроки тех событий, за которыми следует только шестое событие. Это события с номерами 4 и 5.

tp(5) = tp(6) ¡ t56 = 21 ¡ 6 = 15; tp(4) = tp(6) ¡ t46 = 21 ¡ 7 = 14:

Далее определяем поздние сроки событий, за которыми не следуют другие события, кроме событий с номерами 4, 5, 6. Это события 2, 3.

tp(3) = tp(5) ¡ t35 = 15 ¡ 2 = 13;

tr(2) = minftp(6) ¡ t26; tp(5) ¡ t25; tp(4) ¡ t24g =

= minf21 ¡ 9; 15 ¡ 1; 14 ¡ 6g = minf12; 14; 8g = 8:

Поздний срок наступления исходного события равен нулю: tp(1) = 0. Определим также резервы времени событий по формуле:

R(j) = tp(j) ¡ tr(j).

Получим

R(1) = tp(1) ¡ tr(1) = 0 ¡ 0 = 0, R(2) = tp(2) ¡ tr(2) = 8 ¡ 8 = 0, R(3) = tp(3) ¡ tr(3) = 13 ¡ 5 = 8, R(4) = tp(4) ¡ tr(4) = 14 ¡ 14 = 0,

40