П р и л о ж е н и е

Комплексные числа можно представить в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

A = Aejφ = a+jb = acosφ + jbsinφ

На комплексной плоскости рис. 18 изображено комплексное число А.

Вектор, длина которого численно равна модулю А, образует с положительным направлением действительной оси (+1) угол φ, называемый аргументом. Аргумент φ отсчитывается от положительной действительной оси против часовой стрелки, если φ>0, и по часовой, если φ<0.

Рис. 64

При делении и умножении комплексных чисел удобно пользоваться показательной формой, при сложении и вычитании – алгебраической. Для перевода из алгебраической формы записи в показательную достаточно определить аргумент φ и модуль А. Аргумент в общем случае определяется по формуле φ=arctg. Значение φ зависит от четверти, в которой расположен вектор комплексного числа, и может быть определён из рис. 18.

Модуль определяется из формул

,или.

З а д а ч и

1. Линейные электрические цепи постоянного тока

Задача 1.1

Найти эквивалентное сопротивление цепи со стороны зажимов «a» и «d», «d» и «f», «a» и «c».

Рис. 65

Задача 1.2 Задача 1.3

Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68

Определить r_abпри замкнутых и разомкнутых точках «c» и «d».

Задача 1.4

Внутреннее сопротивление источника ЭДС r₀ = 0,6 Ом, сопротивление цепи r = 0,4 Ом.

Определить ЭДС E и U_ab, если I = 1,6 А.

Рис. 69

Задача 1.5

E₁ = 120 В,E₂ = 40 В,r₁ = 12 Ом,r₂ = 8 Ом. Определить напряжение между точками «a» и «b»U_abи между точками «n» и «m» U_mn. Построить потенциальную диаграмму.

Рис. 70

Задача 1.6

Для заданного участка цепи известна разность потенциалов U_ab=120 В.Найти величину тока I, если I_к = 20 мА, r₁ = 1 кОм,r₂ = 2 кОм, Е₂ = 18 В.

Рис. 71

Задача 1.7

Преобразовать источник тока в источник ЭДС, если I_к = 6мА,

g₀ = 0,04 Ом, r = 5 Ом.

Определить I ток внешней цепи.

Рис. 72

Задача 1.8

Два генератора тока соединены в схему, как показано на рис. 27. Используя метод преобразования, определить ток I₄, если I_к1 = 2мА, g1 = 0,05 Ом, g2 = 0,01 Ом,

r₃ = 5 Ом, r_{4 =} 30 Ом.

Рис. 73

Задача 1.9

Решить задачу № 1.8 методом холостого хода и короткого замыкания.

Задача 1.10. После преобразования источника тока в источник ЭДС в задаче № 1.8, определить токи в преобразованной схеме методом двух узлов.

Задача 1.11

Ток в ветви «ac» определить методом эквивалентного генератора, если Е₁=80 В, Е₂=30 В, r₃=5 Ом, r₄=3 Ом, r₅=10 Ом.

Рис. 74

Задача 1.12

Методом контурных токов определить токи, действующие в ветвях, если Iк=5А, g=0,04 Ом,r₂=14 Ом,r₀₂=1 Ом,r₃=8 Ом, Е₂=30 В.

Рис. 75

Задача 1.13

Методом наложения определить токи в ветвях, если r₄=r₅=r₆=

=30 Ом, r₃=r₇=150 Ом,r₁=2 Ом, r₂=3 Ом, Е₁=120 В, Е₂=45 В.

Рис.76

2. Электрические цепи синусоидального тока

Символический метод

Задача 2.1

Построить кривые изменения тока и напряжения во времени и начертить векторы, изображающие заданные синусоидальные функции.

u=100sin(157t+18⁰)В; i=5 sin(157t22⁰40^)А.

Записать комплексные амплитуды, комплексы действующих значений тока и напряжения. Определить комплекс полной мощности , комплексное сопротивление , активное и реактивное сопротивленияR, Х, угол сдвига фаз между напряжением и током φ, активную и реактивную мощности P иQ, частоту тока цепиf.

Задача 2.2

В катушке, индуктивность которой L= 0,012 Гн иr= 9 Ом, проте­кает ток

I= 2sin1000t, А. Чему равно мгновенное значение приложенного напряжения? Построить волновую и векторную диаграмму.

Задача 2.3

Реальная катушка индуктивности подключается сначала к источнику постоянного напряжения U= 100 В, а затем к источнику синусоидального напряжения с действующим значением U = 100 В иf= 50 Гц. В первом случае I = 5 А, во втором I = 4 А. ОпределитьX_L,L. Активное сопротивление катушки считать равным её сопротивлению постоянному току.

Задача 2.4

В цепи протекает ток I=2sin(ωt+20⁰)А. Определить показания приборов. Построить топографическую векторную диаграмму.

Рис. 77

Задача 2.5

По условию задачи 2.4 найти мгновенное значение напряжения на катушке, конденсаторе и во всей цепи. Определить полную, активную и реактивную мощности.

Задача 2.6

В схеме известны действующие значения трех напряжений

а) U₂= 10 В,U_L= 20 В, U_C= 10 В;

б) U_L= 110 В,U_C= 150 В, U = 50 В.

Требуется построить векторную диаграмму напряжений и тока. Найти действующие значения неизвестного напряжения и угол сдвига фаз между общим напряжением и током.

Задача 2.7

Найти при помощи векторной диаграммы сумму и разность двух синусоидальных токов, мА:

i₁=100sin(ωt+30⁰);

i₂=120sin(ωt45ْ⁰).

Задача 2.8

Вцепи даны U=120 В,

₁=(10+j6) Ом,

₂=(24-j7) Ом,

₃=(15+j20) Ом.

Определить токи, активные и реактивные мощности всей цепи и в отдельных ветвях. Построить векторную диаграмму.