§2. Классическое определение вероятности

Случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С, … . Достоверное событие обозначим через Е, невозможное – символом . Равенство А = В означает, что появление одного из этих событий влечет за собой появление другого.

Произведение событий А и В есть событие С = АВ, состоящее в наступлении обоих событий А и В.

Сумма событий А и В есть событие С = А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В.

Разность событий А и В есть событие С = А–В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Противоположное событие обозначается той же буквой. но с чертой сверху (событие А; – противоположное). Если А происходит, то – не происходит.

События А и В несовместны, если АВ =  .

События (m = 1,2,…,n) образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из них; при этом .

Если результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу всех возможных исходов, т.е. ; под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин не имеют объективного преимущества одно перед другим.

Пример 1. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды, какова вероятность того, что выбранные наудачу три студента – разрядники?

Решение. Событие А – 3 наудачу выбранных студента – разрядники. Общее число выбора 3 студентов из 30 представляет собой выборку без повторения, в которой важен только состав, т.е. . Аналогично число благоприятствующих событию А исходов опыта . Итак,

.

Пример 2. На склад поступило N изделий, среди которых M бракованных. Определить вероятность того, что среди наугад взятых со склада изделий окажется бракованных.

Решение. Выбрать изделий из N можно способами. Число способов выбора бракованных из M равно , причем каждый из них может быть дополнен (n–m) изделий из общего числа стандартных изделий (N–M) числом способов . Таким образом,

.

§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле

.

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий

.

Условной вероятностью события А называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло. События А и В независимы, если .

Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

.

Пример 1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

Решение. Пусть событие А – попал первый стрелок. Событие В – попал второй стрелок, тогда

Пример 2. Вероятность поражения мишени для стрелка равна . Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право выстрела по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

Решение. Пусть А – поражение первой мишени, В – поражение второй мишени, тогда

Пример 3. Вероятность, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность, что студентом будет сдан: а) только первый экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Решение. Пусть – студент сдаст i-ый экзамен .

а) В – студент сдаст только первый экзамен, тогда

б) С – студент сдаст только один экзамен

в) Событие D – студент сдаст все три экзамена

.

г) Событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена

.

д) Событие F – студент сдаст хотя бы один экзамен