Задания для самостоятельного решения

Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Лабораторная работа № 12

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Пусть на отрезке в некоторой последовательностиузловзадана функциясвоими значениями, где. Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочленастепени, удовлетворяющего условию интерполирования:.

Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициентыполиномаможно определить из системы уравнений:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функциейв точках.

Решение. Пусть , поэтому имеем

Отсюда . Поэтомупри.

Линейное интерполирование

Простейший интерполяционный многочлен представляет собой многочлен первой степени и приближенно определяет значение функции в интервале. Поскольку интерполяционный многочлен должен совпадать св точкахгеометрически, то интерполяционный многочлен – это отрезок прямой, проходящий через точки:

.

Эта формула может быть представлена иначе:

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени :

.

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного, где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

.

Действительно, . Причислитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

.

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

.

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функциейв точках.

Решение. Составим таблицу

х	-2	-4/3	0	4/3	2
у	0	1	2	1	0

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до- го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

,

где ― внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполированияи точку.