Образец выполнения ргз «Матричные игры» (вариант 34)

Исследование игры обычно начинается с сокращения платёжной матрицы (исключения доминируемых чистых стратегий). В сокращённой игре находятся гарантированные выигрыши и проигрыши (оставшихся) чистых стратегий, нижняя и верхние цены в чистых стратегиях . При в платёжной матрице есть седловой элементы , игра имеет решение в чистых стратегиях, цена игры равна . При ищется решение в смешанных стратегиях: если в сокращённой матрице или , решение и цену игры можно найти графическим методом; если игра сводится к задаче ЛП.

1. По матрице игры находим , исключаем доминируемые стратегии , дальнейшее сокращение невозможно; по сокращённой матрице определяем гарантированные выигрыши и проигрыши, нижнюю цену и верхнюю цену в чистых стратегиях:

-3

5

Игра не имеет решений в чистых стратегиях, т.к. . В сокращённой матрице , графический метод не применим. При сведении игры к задаче ЛП к элементам сокращённой матрицы надо прибавить число . Выбираем , сокращённая матрица с учётом «сдвига» элементов запишется в виде

.

По матрице записываем сразу начальную симплексную таблицу первой из соответствующих задач ЛП, см.задачу (36-37) в [1]. Обратите внимание – индексы переменных соответствуют номерам неисключённых стратегий , индексы -номерам неисключённых стратегий . Далее применяется симплекс-метод.

17

144/178

64/3

По заключительной таблице находим оптимальные планы и значения целевых функций пары двойственных задач, соответствующих игре с матрицей : ; . Цена и вероятности в решении этой игры вычисляются по формулам (40) из [1]: ; ,

, , ; , . Для цены исходной игры имеем . В решении исходной игры вероятности доминируемых стратегий равны нулю, , все остальные вероятности равны вероятностям с теми же номерами.

Ответ: .

2. По матрице игры находим , и исключаем доминируемые стратегии ,,

-2

-7

-5

Игра не имеет решения в чистых стратегиях, т.к. . В сокращённой игре у игрока всего две стратегии , к ней применим графический метод. По сокращённой матрице находим выигрыши стратегии и строим графики соответствующих прямых:

u p2=1 B1 5 P2* -1 p2 -2 B2 u* -4 C -5 B4 -6 B5 -7

Прямые легко строятся по точкам их пересечений с осью и вертикальной прямой : ординаты этих точек равны элементам соответствующего столбца сокращённой матрицы.

Например, прямая проходит через точки и . Графиком зависимости гарантированного выигрыша стратегии от вероятности будет нижняя огибающая четырёх прямых, которая в данном случае состоит из отрезков всех четырёх прямых. Наибольшую ординату на выпуклой ломаной имеет точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям .

Вероятность из решения игры и цена находятся как координаты точки , т.е. из равенств . Решив систему, получим , затем находим ; вероятности доминируемых стратегий равны . В смешанной стратегии игрока не равны нулю только , соответствующие прямым и с угловыми коэффициентами . Эти вероятности находятся из системы . Решив систему, получим .

Ответ: .

3. По матрице игры находим . После исключения доминируемых стратегий можно не продолжить сокращения, а сразу найти верхнюю и нижнюю цены ,

0

-6

-9

0

В данной игре - седловой элемент платёжной матрицы. Игра имеет решение в чистых стратегиях и цену .