“Неопределенный интеграл”

Вычислить интегралы:

1)	Делаем замену переменных. Так как – это почти производная , за t можно взять , а лучше , тогда . Выразим отсюда , получим

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)	В интеграле в числителе стоит почти производная от . Поэтому . Тогда

Ответ:

3)	. Применяем формулу интегрирования по частям: , . После подстановки получим

Ответ:

4) Выделим в знаменателе интеграла полный квадрат: где . В конечном счете после подстановки получаем

Найдем отдельно интегралы.

. После подстановки: получим

Подставляя найденные выражения в , получим

Ответ:

5) . Делая подстановку: , получим .

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель так же, как число 231 на 8, столбиком,

, результат записывается смешанной дробью:

Аналогично делим многочлены.

Берем степень , делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и отнимаем от . взаимно уничтожаются, сносим вниз, , а при вычитании становится . Затем делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и это отнимаем и т. д.

Записываем результат деления: и подставляем его под знак интеграла . Последнее слагаемое представляет собой правильную дробь, которую можно разложить в сумму простейших дробей.

Приравниваем числители дробей

,

Теперь

Ответ:

Делая подстановку: , получим

Ответ: .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и . В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

Ответ: