“ Функции нескольких переменных ”

1) Найти и функции .

Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.

Считаем переменную “х” постоянной величиной.

Ответ:

2) Показать, что при .

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.

3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .

Так как ,

отсюда следует, что .

Заменим приращение функции ее дифференциалом ,

где .

Тогда ,

т. е. в данном случае .

Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.

.

Теперь найдем

;

.

Находим искомое значение корня

.

Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.

Ответ: .

4) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .

Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, какой.

Составляем определитель .

Так как , экстремум существует. Так как , в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.

.

Ответ: .

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами .

Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.

2

В

1

Д

А С

0 1 2 х

М₀

Точка не принадлежит треугольнику (рис. 7), поэтому значение функции в этой точке не вычисляем. Переходим ко второму действию. Треугольник ограничивают три прямые. Будем исследовать функцию на экстремум на каждой из них. Сначала найдем значения функции в вершинах треугольника.

Рисунок 7

Рассмотрим границу : Подставляя в выражение функции, получим

Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Находим при , а это значение не входит в рассматриваемый отрезок . На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, это и .

Переходим к границе : . Подставляя в выражение функции, получим .

Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при . Эта точка входит в отрезок . Поэтому вычислим значение функции в этой точке.

.

На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и .

Рассматриваем третью границу : . Выразим и подставим в выражение функции:

.

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при , а это значение не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции наибольшее. Это значение равно 6 в точке . А наименьшее значение принимается в двух точках: и .

Ответ: , .