Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовой Веснина, Кац

.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

885.8 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Омский государственный технический университет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Типовой расчет

методические указания к его выполнению

Омск – 2001

Составители: Алла Александровна Веснина, и.о. доцента Наталья Самуиловна Кац, старший преподаватель

Методические указания предназначены для оказания методической помощи студентам дневной, вечерней и заочной форм обучения в процессе их подготовки и выполнения индивидуальных самостоятельных заданий по разделу «Теория вероятностей» курса высшей математики.

Настоящие методические указания охватывают материал разделов «Случайные события», «Случайные величины» и «Системы случайных величин».

Методические указания состоят из двух частей: образца выполнения задания и

11 задач для самостоятельного решения.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Задача 1. На рис. 1 и 2 изображены электрические схемы. Выключатели

изображены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать через

события А к - «включен выключатель с номером к » для каждой схемы следующие

события: А - «ток идет» и А - «ток не идет».

1	3	2
		1
	2	3
	2

	Рис. 1		Рис. 2
Решение.	В схеме, приведенной на рис. 1,		ток идет, если включены или 1 и 3
выключатели,	или выключатель 2. Эти события соответственно равны			А1 А3 и
А 2 . Поэтому	событие	А А1 А3 А2 . В	схеме (рис. 1) ток не	идет, если

выключены выключатель 2 и хотя бы один из выключателей 1 или 3. Эти события

2 (

3 ) . Иначе,

соответственно равны

2 и

3 . Поэтому событие

используя свойства операций над событиями,

А А1 А3 А2 А1 А3 А2 (А1 А3 ) А2 .

Для схемы (рис. 2) А А1 (А2 А3 ) , А А1 А2 А3 .

Задача 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Как велика вероятность, что в нем: а) все цифры различные; б) все цифры нечетные?

Решение. а) Событие А - все цифры различные. Р(А) mn , где n - число всех

элементарных равновозможных событий, m - число элементарных равновозможных событий, благоприятных наступлению события А . Пусть n - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, причем цифры могут повторяться,

поэтому n 105 . m - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10

возможных, но цифры должны быть различными, поэтому m A5						(порядок для
					10
				А5	10 9 8 7 6
телефонного номера важен). Таким образом, Р(А)				10		0,3024 .
телефонного номера важен). Таким образом, Р(А)				105	105	0,3024 .
				105	105
б) Событие В - все цифры нечетные. Р(В)	m	;	n 105 ,		m - число всевозможных
б) Событие В - все цифры нечетные. Р(В)		;	n 105 ,		m - число всевозможных
	n

способов выбора 5 цифр из 5 нечетных, причем цифры могут повторяться, поэтому

m 55 . Таким образом, Р(В) 55 1 0,03125. 105 32

Задача 3. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение. Пусть событие А к состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес ( к 1, 2,3). Искомая вероятность Р Р(А1 А2 А3 ) , так как события А1, А2, А3 совместны, то

Р(А1 А2 А3 ) Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 ) Р(А1А2 ) Р(А1А3 ) Р(А2А3 ) Р(А1А2А3 ) .

Для всех i, j Р(Аi А j ) Р(Аi					)Р		А j		1	1	;
							Ai
									3	2
									3	2
		A	2				A3					1	1	1
Р(А1А2	А3 ) Р(А1 )	Р		A1		Р									. Таким образом,
				A1				A1A2				3 2 1

Р(А1 А2 А3 ) 13 3 13 12 3 13 12 1 23 .

Задача 4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего

– 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

Решение. Пусть событие А - деталь, взятая наудачу из бункера, бракованная.

Событие А может произойти только совместно с одним из следующих событий:

Н1 - деталь изготовлена на 1-м станке, Н2 - на 2-м станке, Н3 - на 3-м станке.

События Н1 , Н2 , Н3 образуют полную группу несовместных событий, поэтому

3
Р(А) Р(Нi	) Р А	. Если принять производительность второго станка за k, то
i 1		Нi

производительность первого станка - 3k, третьего – 2k. Тогда
			3к	3			1				2
Р(Н1 )					,	Р(Н2 )		,	Р(Н3 )			,	Р A		0,03,	Р A	H		0,02,
Р(Н1 )					,	Р(Н2 )	6	,	Р(Н3 )		6	,	Р A		0,03,	Р A			0,02,
			6к 6				6				6				H1			2
								3		1				2
Р A	H3	0,01.				Р(А)			0,03		0,02				0,01 0,021(6).
Р A		0,01.				Р(А)			0,03		0,02				0,01 0,021(6).
								6		6				6

Задача 5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Решение. Пусть событие А - бракованных изделий окажется более трех.

А - бракованных изделий не более трех.

Р(

) Р

а m

е а ,

a nр 200 0,01 2.

0,200

2,200

3,200

;

m,n

где

1,200

Р(

)

е 2

0,857 .

Р(А) 1 Р(А) 1 0,857 0,143.

Задача 6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность

попадания при каждом выстреле равна р . Рассматриваются случайные величины:

- разность между числом попаданий и числом промахов;		- сумма	числа
попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин			,
ряд распределения. Найти их характеристики mх , Dх , mу , Dу .
Решение. Случайная величина	может принимать следующие значения:
х1 2 (0 попаданий, 2 промаха),	х 2 0 (1 попадание, 1 промах),	х3 2 (2 по-

падания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по

формуле Бернулли:

Р(Х 2) С02 р0 (1 р)2 ,

Р(Х 0) С12 р1 (1 р)1 ,

Р(Х 2) С22 р2 (1 р)0 .

Ряд распределения будет иметь вид

-2

(1 р)2

2р(1 р)

р2

2(1 р)2 0 2p(1 р) 2р2

2(р q) ,

М Х2

m2 4(1 р)2

0 2р(1 р) 4p2

4(р q)2

8рq .

Случайная

величина

может принимать только одно значение: два с

вероятностью, равной единице

mу 2, Dу 0 .

если х 0;

аx 2 , если 0 х 1;

Задача 7. Дана функция f (x) а(2 - х)2 , если1 х 2;

0, если х 2.

При каком значении

функция

f (x)

является

плотностью распределения

случайной

величины

Х?

Найти функцию

распределения случайной величины

Х,mх , Dх .

Решение. Из основного свойства плотности следует

				0			1			2
f (x)dx				0		dx аx 2dx а(2 х)2 dx										0	dx
			-				0			1						2
a	х2	1	а		(2 х)3			2 1;	а		а	1,	а	3	.
	х2	1			(2 х)3				а		а			3
	3					3			3		3			2
	3	0				3		1	3		3			2

Для	х 0	F(x) 0 .
			х	0	х	3		х3
Для	0 х 1		F(x) f(x)dx 0		dx		х 2 dx		.
Для	0 х 1		F(x) f(x)dx 0		dx	2	х 2 dx	2	.
			-	-	0	2		2

																х														1		3
Для 1 х 2								F(x)								f (х)dx							0			dx								х2dx
Для 1 х 2								F(x)								f (х)dx							0			dx						2		х2dx
																														0		2
																			(2 х)3					x							(2 х)3
х 3						2					х3			1		3			(2 х)3					x							(2 х)3
1		2			х		dx																			1											.
1	2	2			х		dx			2				0			2			3				1		1									2		.
														х						0									1	3								2	3	2 х 2 dx
Для			х 2				F(x)							f (x)dx								0 dx								3		х2dx							3
Для			х 2				F(x)							f (x)dx								0 dx								2		х2dx							2
																													0	2								1	2
х					х	3			3			(2 х)						3	2
х						3	1											3	2
0dx																				1.
0dx																				1.
2				2			0	2								3			1
																		0, если х 0;
																			х	3
																			х		, если 0 х 1;
																					, если 0 х 1;
Таким образом,													F(x)						2
Таким образом,													F(x)						2		(2 х)3
																		1			(2 х)3							, если1 х 2;
																		1										, если1 х 2;
																						2
																						2

																		1, если х 2.
			0							1					3					2		3	2 х 2 dx
mх			х	0 dx						х					3	х 2dx				х		3													х 0			dx 1,
mх			х	0 dx						х						х 2dx				х		2													х 0			dx 1,
										0			2							1		2													2
Dх М Х2 m2х													0							1					3							2				3		2 х 2 dx
													х 2 0 dx									х	2		3		х 2dx								х 2	3					х 2	0 dx 1 1,1 1 0,1.
													х 2 0 dx									х	2				х 2dx								х 2						х 2	0 dx 1 1,1 1 0,1.
																				0			2									1			2						2
Задача 8.								Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному
закону с параметром																	:			f (x) t t										при t 0 . Решение определенной задачи
требует				безотказной												работы машины														в			течение времени								.	Если за время

произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина

Х - время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и

математическое ожидание (среднее время решения задачи).

Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: ( за

время не произошло сбоя),	2 (на первом	промежутке	сбой произошел, на
втором промежутке сбоя не	было), 3 (на	первых двух	промежутках длины

сбои происходили, на третьем сбоя не было) и т. д.

P(X ) Р(T ) 1 P(T ) 1 е t dt e .

Обозначим

е р, тогда q 1 р 1 e - вероятность того, что за время

сбой

произошел; Р(Х 2 ) q p ,

Р(Х 3 ) q2 p

т. д.

Ряд распределения случайной величины

...

qк 1р

...

М Х k qk 1p р kрк р

е (вычисление суммы ряда

к 1

q к 1

(1 q)2

kpk смотри методические указания к проведению практических занятий по

к 1

теории вероятностей, часть 2, стр. 15).

Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-

деляются по нормальному закону. Параметры этого закона М Х 5 см, D Х 0,81 см2 . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.

			7 а		4 а
Решение.	Р 4 Х 7	Ф		Ф		, где	а - математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение. Таким образом,

7 5	4 5
Р(4 Х 7) Ф	Ф		Ф(2,22)	Ф(1,11) 0,48679 0,36650 0,85329.
Р(4 Х 7) Ф	Ф		Ф(2,22)	Ф(1,11) 0,48679 0,36650 0,85329.
0,9		0,9
Задача 10. Закон распределения системы дискретных случайных величин X, Y
задан таблицей:
задан таблицей:		Х/Y	20	40	60
		10	3		0
		20	2	4	2

		30		2	5

Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин X, Y ;

в) mх , mу , Dх , Dу ; г) коэффициент корреляции rху ; д) вероятность попаданий двумерной случайной величины в область 0 X 25 ; 0 Y 20 .

															n		гn
	Решение: так как														Р X xi , Y y j 1,
															i 1		j 1
то 3 0 2 4 2 2 5 1																											1	.
то 3 0 2 4 2 2 5 1																										20		.
																										20
Закон распределения случайной величины X
Х			10			20				30
Х			10			20				30

			4			8				8											m
Р														, т. к. Р Х хi Р Х хi , Y y j .
Р			20			20				20				, т. к. Р Х хi Р Х хi , Y y j .
			20			20				20											j 1

Закон распределения случайной величины Y
Y			20		40				60
Y			20		40				60

P			6		7				7				.

			20		20				20
			20		20				20

Отсюда:
mх		22, Dх 56, mу												41, Dу 259
К		М XY m										m		10 20				3	10 40			1		10 60 0 20 20								2
К	ху	М XY m									х	m	у	10 20					10 40					10 60 0 20 20
	ху										х		у				20				20								20
																	20				20								20
	20 40						4	20 60							2		30 20			1	30 40				2	30 60			5	22 41 68,
	20 40							20 60									30 20				30 40					30 60				22 41 68,
					20									20			20				20								20
r				К ху					68							0,56.
r																0,56.
ху			х у						56			259
			х у						56			259
Р 0 Х 25, 0 Y 20 Р X 10, Y 20 Р Х 20, Y 20																															3		2	0,25.
Р 0 Х 25, 0 Y 20 Р X 10, Y 20 Р Х 20, Y 20																																		0,25.
																													20				20
	Задача 11.									Плотность совместного распределения системы двух случайных
величин X;Y задана выражением																					f (x)						А		.
величин X;Y задана выражением																					f (x)		1 х 2 еу е у						.

Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин X, Y ,

входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.

Решение. Из основного свойства плотности

										А															dx						dy				dx	е	у dy
f (х, у)dxdy					1 х 2 еу е										у	dxdy				A													А
f (х, у)dxdy																dxdy				A												у е у
		-																				1			х 2			е			1			х 2	е2 у 1
															А				2								2					у е у
																			2
А arctgx arctgeу								А												1 А									.
А arctgx arctgeу								А												1 А									.
													2				2										2
f1 (х)	f (x, y)dy				2					1						1				dy					1
					2					1						1									1					.
				2					1 х 2					еy е у									1 х 2							.
				2					1 х 2					еy е у									1 х 2
f2 (у)	f (x, y)dx				2					1						1				dy					2
					2					1						1									2						.
					2										еу е у									еу е у							.
					2		1 х 2								еу е у									еу е у
Т.к. f (х)f (у)					1						2								2							1						f (x, y),
Т.к. f (х)f (у)			(1		х 2 )					(еу								2														f (x, y),
1	2		(1		х 2 )					(еу		е у )						2			(1		х 2 )(еу е у )
1	2
случайные величины						X, Y - независимы.

Задача № 1.

1.1.Пусть А В . Упростить выражения А В, А+В, А В С, А+В+С.

1.2.Бросаются две игральные кости. Пусть А - событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В - событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из

костей выпала единица. Описать события A B, A B .

1.3. Дана система S, состоящая из блоков a1 , a 2 , b1 , b2 , d. Записать событие S,

состоящее в том, что система S исправна.

1.4. Пусть А,В,С - три произвольных события. Найти выражения, если:

-произошло только событие А;

-произошло одно и только одно событие;

-произошло два и только два события;

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019107.5 Кб15ТехСР ШПОРЫ 2.docx
#
18.11.201950.12 Кб23ТЗ_Полякова.doc
#
30.03.2015193.54 Кб72ТииП.doc
#
07.05.201986.53 Кб18ТИПМИ.doc
#
30.03.20151.67 Mб23Типовик.doc
#
30.03.2015885.8 Кб143Типовой Веснина, Кац.pdf
#
10.08.2019887.3 Кб55Типовые элементы ГПА .doc
#
04.09.20191.51 Mб43типографика. лабораторный практикум.doc
#
23.11.2018680.45 Кб8Тихонов.doc
#
12.11.20196.48 Mб3Тихонова РТФ МОЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ.doc
#
30.03.20158.37 Mб24ТкаченкоСибин_МУ по ЛР, СРС и ДЗ (Напечатоно).doc