Bescennaya_i_dr.Grafiki_funkcii

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

рациональным показателем

y = x q , p − нечетное, q − четное;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

412.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

где х, у – декартовы координаты произвольной точки М(х,у), а ρ,ϕ - её полярные координаты.

Здесь декартова система координат выбрана так, чтобы её начало О совпадало с полюсом полярной системы, а ось ОХ – с полярной осью.

Элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называются следующие: - степенная функция у = хα , где a Î R ;

- показательная функция y = a x , где a > 0, a ¹ 1;

- логарифмическая функция y = loga x, где a > 0, a ¹ 1;

- тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ; -обратные тригонометрические функции: y = arcsin x , y = arccos x, y = arctg x,

y = arcctg x .

Элементарными функциями являются основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиции, например:

у = 1 + 2сos3 x , y = 52x + log2 x . 5 x + 3ctgx

Назовем некоторые классы элементарных функций.

Целая рациональная функция, или многочлен y = a 0 x n + a1x n+1 + ... + a n , где n-

целое неотрицательное число (степень многочлена), а0 , а1 ,..., аn - постоянные числа (коэффициенты).

Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций:

y =	a	0	x n + a	x n−1 + ... + a	n
		0	1		n	.
						.
	b0 x m + b1x m−1 + ... + bm

Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют класс

рациональных функций.

Иррациональная функция – это та, которая изображается с помощью суперпозиций рациональных функций и степенных функций с рациональными целыми показателями, например:

y = 3 2x 2 + 1 + x3 ; y = x + 2 . 5 2 + 3x − 27

Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Степенная функция

(1;1)

Рис. 2.1. y =

Рис. 2.2.

y =

x 2n

(1,1)

Рис. 2.3. y =

Рис. 2.4. y =

x 2

x 2n+1

Y Y

Рис. 2.5. Обратно	пропорциональная			Рис. 2.6. Обратно пропорциональная
зависимость	y =	k	, k > 0	зависимость y =	k	, k < 0

		x			x

(1;1)

Рис. 2.7. Степенная функция с положительным рациональным

показателем y = x

p − четное, q − нечетное:

< 1 (a);

> 1 (б)

(1;1)

Рис. 2.8. Степенная функция с положительным рациональным

показателем y = x

и q − нечетные:

< 1 (a),

> 1 (б)

, p

Y Y

	(1;1)		(1;1)
0	x	0	x

а					б
Рис. 2.9. Степенная функция с положительным рациональным
		p
	y = x		, p − нечетное, q − четное:	p	< 1 (a);	p	> 1 (б)
показателем		q
				q
						q

0 х

Рис. 2.10. Степенная функция с отрицательным рациональным

показателем y = x − p , p − четное, q − нечетное; p > 0

Рис. 2.11. Степенная

− p

показателем y = x q

функция с отрицательным рациональным

, p, q − нечетные; p > 0 q

Рис. 2.12. Степенная функция с отрицательным

	(0;1)	(0;1)
0	x	0	x
	а		б
Рис. 2.13. Показательная функция y = a x : a > 1 (а);			а < 1 (б)

Y	2
	1
0	x
	3
	4

Рис. 2.14. Логарифмическая функция y = loga x, a > 0 : a = 10 (1); a = e (2);

a =	1	(3); a =	1	(4)
			e
10


-3π/2	-π/2	0 π/2	3π/2	x
Рис. 2.15. Тригонометрическая функция				y = sin x

-3π/2	π/2	π/2	3π/2
	0		x

Рис. 2.16. Тригонометрическая функция y = cos x

Y Y

-π

-π/2

π/2

-π

-π/2

π/2

3π/2

Рис. 2.17. Тригонометрическая	Рис. 2.18. Тригонометрическая
функция y = tg x	функция y = ctg x

2π

3π/2

π/2

-1

0 1

-π/2

-π

Рис. 2.19. Обратная тригономет-

Рис. 2.20. Обратная тригонометри-

рическая функция y = Arcsin x

ческая функция y = arcsin x

5π/2

3π/2

π/2

-1

-1 0

-π

Рис. 2.21. Обратная тригонометрическая

Рис. 2.22. Обратная тригонометри-

функция

y = Arccos x

ческая функция y = arccos x

π/2

-π

-π/2

-2π

Рис. 2.23. Обратная тригонометри-

Рис. 2.24. Обратная тригонометри-

ческая функция

y = Arctg x

ческая функция

y = arctg x

5π/2

	3π/2		Y

	π/2
	π/2		π/2
			π/2
0		x
	-π/2	0		x

Рис. 2.25. Обратная тригонометри-	Рис. 2.26. Обратная тригонометрическая
ческая функция y = Arcctg x	функция y = arcctg x

3. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Задача 1.

По графику функции y = f (x) путем сдвигов и деформаций построить график функции y =A × f (kx + m) + B .

Построение заданной функции проводится в несколько этапов, которые мы здесь рассмотрим. Функцию y = f (x) будем называть основной.

Построение графика функции y = f (x − а) .

Предположим, что для некоторых x1 и x2 основная и заданная функции имеют

равные ординаты, то есть f (x1 ) = f (x 2	- a ). Но тогда должно быть x1 = x 2 - a и
x 2 = x1 + a . В зависимости от знака a	возможны два случая.

1. Если a > 0, то точка M(x + a; y) графика функции y = f (x − а) смещена вдоль оси OX на a единиц вправо по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.1).

2. Если a < 0, то точка M(x + a; y) смещена вдоль оси OX на a единиц влево по

сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем

N(x; y)

M(x+a; y)

N(x; y)

x+a

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Правило 1. Если a > 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на “a” единиц вправо.

Если a < 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на a единиц влево.

Примеры. Построить графики функций: 1) y = arcsin (x − 2); 2) y = (x + 3)2 .

1) Здесь a = 2 > 0. Строим график функции y = arcsin x . Сдвинув его на 2 единицы вправо вдоль оси OX, получим график функции y = arcsin (x − 2)

(рис. 3.3).

2) Здесь a = -3 < 0. Строим график функции y = x 2 . Сдвинув его на 3 единицы

влево, получим график функции y = (x + 3)2	(рис. 3.4).
Y		Y
y = arcsin x y = arcsin (x − 2)	y=(x+3)2	y=x2
π 2

-1 0 1 2 3	x	-3 -2 -1 0			1 2	x
− π 2
Рис. 3.3			Рис. 3.4
Замечание. Построение	графика	функции у = f (x − a ) можно выполнить
иначе: построив график основной функции y1 = f (x ) в системе					XO1Y1 ,	надо
перенести ось O1Y1 , на а единиц влево, если а > 0 , и на			a	единиц вправо,		если
перенести ось O1Y1 , на а единиц влево, если а > 0 , и на			a	единиц вправо,		если

а < 0 . Тогда в системе XOY получим график функции y = f (x − a ). Система XO1Y1 имеет вспомогательное значение, поэтому ось O1Y1 изображается пунктирно или карандашом.

В качестве примера построим еще раз графики функций y = arcsin(x − 2) и y = (x + 3)2 (рис. 3.5) и (рис. 3.6)

π2

			О1				О
			О1				О
0 1	2	x	-3	-2	-1	0	x
0 1	2	x	-3	-2	-1	0	x
	− π 2
	Рис. 3.5			Рис. 3.6

Построение графика функции y = f (kx ), где k > 0.

Пусть для некоторых значений x1

x 2

ординаты функций f (x ) и f (kx) равны,

то есть

f (x1 ) = f (kx 2 ). Тогда

x1 = kx 2

x 2 =

. Таким образом, каждой точке

N(x, y)

графика основной функции

f (x ) соответствует точка М

; y графика

функции f (kx ). Возможны два случая.

1. Если k > 1, то точка

; y

лежит в k раз ближе к оси OY, чем точка

N(x; y)

(рис. 3.7).

2. Если же 0 < k < 1, то точка

; y

лежит в

раз дальше от оси OY по

сравнению с точкой N(x; y) (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Y		Y
x			x
y M	; y N(x; y)	y N(x; y)	M	; y

k			k

	x						x
0		x	X	0	x			X

	k						k
		Рис. 3.7				Рис. 3.8
Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции						f(kx) получается из графика

функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).

Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его

растяжения вдоль оси OX в				1	раз.
растяжения вдоль оси OX в				k	раз.
				k		x
Примеры.	Построить графики функций: 1) y = arccos 2x и y = arccos					x	;
Примеры.	Построить графики функций: 1) y = arccos 2x и y = arccos						;
		x			2
2) y = sin 2x и	y = sin	x	.
2) y = sin 2x и	y = sin		.
	2

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.12.2018281.09 Кб5Baza_testov_otvety_filosofia (1).doc
#
01.03.2025190.46 Кб0BAZ_DANN_H-konspekt_lektsy.doc
#
13.03.2016782.85 Кб13Begunov-otvety.doc
#
30.03.2015299.68 Кб3berd.doc
#
01.05.20252.23 Mб1Berezin_Egorov_2_IRA.doc
#
30.03.2015412.51 Кб14Bescennaya_i_dr.Grafiki_funkcii.pdf
#
01.07.20251.24 Mб1bestreferat-218445.docx
#
30.03.2015281.6 Кб64bilety.doc
#
01.05.202540.95 Кб0bilety_2.docx
#
19.08.201923.65 Кб3bilety_fizra.docx
#
16.08.2019102.91 Кб2Bilety_GE_140104_PTE_2009-10.doc