3.2 Кривые второго порядка
Задачи по теме «Кривые второго порядка»
Задача 1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее.
Решение.
а)
. Выделим полные квадраты по
и по
:
или
- каноническое уравнение окружности с
центром в точке
и радиусом
.
2
б)
.
.
- окружность,
,
.
Задача 9. Привести уравнение
кривой к каноническому виду:
.
Построить эту кривую, найти ее
эксцентриситет.
Решение. Выделим в уравнении кривой полные квадраты по
и
:
или
.
Из уравнения
видно, что центр симметрии эллипса
(данной кривой) находится в точке
;
- малая и
–
большая полуоси эллипса,
;
.
Ответ:
.
Задача 11. Привести уравнение
кривой к каноническому виду и построить
ее:
.
Решение. Приведем уравнение к
каноническому виду, выделив полные
квадраты по
и
:
или
, из уравнения
4
следует,
что центр симметрии кривой
,
- действительная,
- мнимая полуоси гиперболы;
-
4
полуфокусное расстояние гиперболы .
Задача
12. Привести уравнение кривой
к каноническому виду, построить кривую.
Решение. Преобразуем данное уравнение.
Выделив по
полный квадрат:
или
- это каноническое уравнение параболы
. Из этого уравнения видно, что вершина
параболы -
,
ось
5
симметрии
параллельна оси
.
Поверхности второго порядка
В декартовой системе координат общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
(28)
где коэффициенты А, В, С ... L R и А, В, С, D, E, F не равны нулю одновремен-но.
Уравнение (28) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
В некоторых случаях это уравнение определяет так называемые вырожденные поверхности (пустое множество, точку, прямую, плоскость или пару плоскостей). Уравнение невырожденной поверхности преобразованием системы координат можно привести к одному из перечисленных ниже видов, называемых каноническими.
1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
(29)
Числа
a,
b,
c
называются полуосями эллипсоида. Если
- эллипсоид называют трехосным, если
две полуоси равны, эллипсоид называют
эллипсои-дом вращения, так как этот
эллипсоид может быть получен вращением
эллипса
вокруг одной из его осей. Если a
= b
= c,
уравнение (29) определяет сферу.
Рис. 22
-
Гиперболоиды. Каноническое уравнение гиперболоида имеет вид
.
Однополостный гиперболоид (рис.23) определяется уравнением
.
Рис. 23 Рис. 24
Двуполостный
гиперболоид
(рис. 24) определяется уравнением
.
Поверхности, которые задаются уравнениями
и
также являются
однополостными гиперболоидами, только
иначе расположены относительно системы
координат.