18 Расчёт надёжности методом статистического эксперимента

Непосредственный статистический расчёт надёжности представляет собой многократную реализацию с. в. X – набора состояний элементов системы, вычисление значений y(X) для каждой реализации (для каждого опыта) и их усреднение.

В результате проведения n опытов оценка вероятности отказа системы определяется по формуле:,где y_i – состояние системы в i-м опыте, n_отк – число отказов, т. е. число опытов, в которых происходил отказ системы. Погрешность оценки в соответствии с правилом трёх сигм находится с вероятностью 1–0,0027 в пределах (1.54)

С учётом того, что обычно вероятность отказа системы Q близка к нулю, можно пренебречь множителем (1–Q), близким к единице. Кроме того, – по той же причине малости Q, – от абсолютной погрешности Δ в (1.54) переходят к относительной погрешности δ = Δ/Q. В результате этих замен неравенство принимает следующий вид (1.55)

где v_n = _n /Q – коэффициент вариации оценки приn опытах. Наконец, поскольку точное значение Q в (1.55) неизвестно, его заменяют оценкой ,

откуда (1.56)

Это неравенство позволяет достаточно легко контролировать относительную ошибку в ходе статистического эксперимента по числу n_отк наблюдаемых отказов системы.

Если в (1.55) зафиксировать размах относительной погрешности, полагая 3v_n = δ₀, и выразить через него число опытов n, при котором он достигается, получим требование . Размах δ₀ на практике задают в диапазоне от 1 до 0,1.

25 Преимущества и недостатки аналитического и статистического методов моделирования.

Основные достоинства:

• имитационная модель позволяет, в принципе, описать моде­лируемый процесс с большей адекватностью, чем другие;

• имитационная модель обладает известной гибкостью варьиро­вания структуры, алгоритмов и параметров системы;

• применение ЭВМ существенно сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом (если он возможен), а также их стоимость.

Основные недостатки:

• решение, полученное на имитационной модели, всегда носит частный характер, так как оно соответствует фиксированным элементам структуры, алгоритмам поведения и значениям па­раметров системы;

• большие трудозатраты на создание модели и проведение экс­периментов, а также обработку их результатов;

• если использование системы предполагает участие людей при проведении машинного эксперимента, на результаты может оказать влияние так называемый хауторнский эффект (заклю­чающийся в том, что люди, зная (чувствуя), что за ними на­блюдают, могут изменить свое обычное поведение).

26 Методы понижения дисперсии.

Метод взвешивания

Для простоты изложения метода рассмотрим статистический эксперимент с одномерной входной с.в. x (рис. 6.1).

x ~ f(t) i = 1..N

y(x) y

Рис. 6.1. Исходная схема эксперимента

Формально искомое м.о. M(y) определяется выражением:

(6.1)

Метод взвешивания основан на аналитическом преобразовании выражения (6.1) и на соответствующем изменении схемы эксперимента.Разделим и умножим подынтегральное выражение в (6.1) на произвольную п.р.в. p(t), не равную нулю в пределах интегрирования. В результате мы увидим, что

(6.2)

где y’ = y(x)*(f(x)/p(x)), а x ~ p(t). Следовательно, вместо расчета оценкиможно выполнять расчет оценки. Схема расчетапредставлена на рис. 6.2. Такой переход от исходной схемы рис. 6.1 к схеме рис. 6.2 называется методомвзвешивания. Обе схемы эквивалентны с точки зрения м.о. выходной с.в., но различны с точки зрения ее дисперсии.

i = 1..N Перемножение

x ~ p(t) y

y(x) *

f(x)/p(x)

Рис. 6. 2. Преобразованная схема

Описанный одномерный вариант метода легко распространяется и на случай многомерной с.в. Для этого достаточно в (6.2) вместо скаляров x,t записать соответственно векторы X = (x, ... , x), T = (t, ... , t). Обобщение на случай дискретной с.в. X осуществляется путем замены интеграла на сумму, а плотностей - на вероятности.

Искусство применения метода взвешивания сводится к подбору такой функции p, чтобы было D() << D(y). Тогда получится N' << N. Можно, например, подбирать п.р.в. p так, чтобы с.в.= y f / p была по возможности ближе к константе, хотя бы в каком-нибудь интуитивном смысле, т.к. при= =const должно быть D() = 0.

Основное достоинство метода взвешивания - в простоте преобразования схемы эксперимента. Программа вычисления функции y(x), т.е. модельисследуемой системы не меняется. Добавляется только расчет множителя f/p (веса), да генератор входной с.в. с распределением f заменяется на генератор с распределением p.

6.4. Метод расслоения

Для типовой исходной схемы статистического эксперимента (рис.6.4) введем следующие обозначения:

 - пространство исходов, т.е. множество всех возможных значений с.в. X.

₁,…,_k- слои, т.е. такие подмножества пространства,что

- вероятность j-го слоя.

M_j- условное математическое ожидание с.в.y в слое .

~ f i = 1..N

y(X) y

Рис.6.4. Исходная схема эксперимента

Известно, что безусловное м.о. с.в. выражается через условные следующим образом:

(6.5)

Отсюда происходит идея расслоения эксперимента: вначале выполнить эксперименты в отдельных слоях , в которых с.в. y более или менее "близка к константе", а затем по найденным "почти точным" оценкамвычислить в соответствии с (6.5) оценку

(6.6)

Схема расслоенного статистического эксперимента, воплощающая эту идею, представлена на рис. 6.5.

Эксперимент в каждом слое проводится точно также, как по исходной схеме. Только вместо безусловной п.р.в. f(t) используется условная:

:X f: y(X) y

. . .

: X f: y(X)y

. . .

:Xf: y(X) y

Рис.6.5. Схема расслоенного эксперимента

Для контроля за точностью эксперимента можно в каждом слое вычислять условную дисперсию выходной с.в.:

(6.8)

и дисперсию внутрислойной оценки

(6.9)

Тогда, в соответствии с линейным выражением (6.6), дисперсия итоговой оценки может быть вычислена по формуле:

(6.10)

Если нужно знать ошибку итоговой оценки в форме коэффициента вариации, то она вычисляется как обычно:

(6.11)

Следует иметь в виду, что кроме удачного выбора слоев существует дополнительная возможность выигрыша в точности - за счет правильного распределения общего числа опытов N по слоям: N = N+ ... + N. Опыты можно распределятьрационально- в соответствии с формулой

, (6.12)

или оптимально- по формуле

, (6.13)

где - условное среднеквадратическое отклонение с.в. y в слое. Обычноаприорно неизвестны и их заменяют на оценки

(6.14)

где находят по (6.8) путем выполнения пробного прогона программы с не очень большими.

При использовании распределения опытов (6.13) ошибка v расслоенного эксперимента будет минимальной для данного N. Распределение (6.12) приводит к худшей (во всяком случае не лучшей) точности, чем (6.13). Тем не менее, распределение опытов (6.12) используется чаще, т.к. оно проще и все же гарантирует (при любом расслоении эксперимента), что ошибка получится меньше (в крайнем случае - не больше), чем в исходной схеме. Эти свойства метода расслоения доказываются достаточно просто.

Таким образом рациональное, а тем более и оптимальное распределение опытов гарантирует, что даже при самом неудачном расслоении мы не ухудшим точности расчетов.