6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов с использованием углов Эйлера

Кроме направляющих косинусов, т. е. углов между осями координат X_i-1, Z_i, Y_i-1, Z_i и X_i-1, Y_i при определении ориентации звеньев манипулятора успешно используются углы Эйлера. Существует три системы углов Эйлера (Euler). В кинематике роботов используется система углов Эйлера, которая применяется в теории гироскопов и в астрономии при описании движения космических тел (рис. 6.16а):

1. поворот на угол прецессии _I вокруг оси Z_i-1;

2. поворот на угол нутации _i вокруг повернутой оси O_iX_i;

3. поворот на угол собственного вращения _i вокруг повернутой оси O_iZ_i.

Угол прецессии – угол ометания, движения впереди, преддвижения.

Угол нутации – угол колебания оси собственного вращения.

Угол собственного вращения – угол вращения вокруг собственной оси.

Например, при вращении юлы угол _i с уменьшением угловой скорости увеличивается и юла падает (рис. 6.16б).

Рис. 6.16. Углы Эйлера

Перечисленные эволюции i-й системы координат отражаются следующим произведением матриц:

Для определения углов Эйлера можно использовать ранее изложенный алгоритм решения прямой задачи кинематики с той разницей, что на заключительном этапе должны быть вычислены значения углов Эйлера из сопоставления соответствующих элементов матриц Т_i-1,i и Е_i-1,, а именно:

1. Рассчитываем матрицу Т_i-1,i, в результате становятся известными численные значения ее элементов.

2. Cопоставим те элементы матриц Т_i-1,i и Е_i-1,i, которые наиболее просто позволяют определить углы Эйлера, а именно:

; ;

; ;

; .

Глава 7. Прямая задача кинематики манипуляторов роботов. Абсолютные скорости и ускорения в манипуляционных системах промышленных роботов

7.1. Теоретические вопросы решения прямой задачи

В принятых нами специальных системах координат ось Z_i всегда направлена:

• во вращательной кинематической паре по оси вращения;

• в поступательной паре параллельно направляющей кинематической паре.

Напомним также, что положение i-го звена относительно (i-1)-го определяется обобщенной координатой q_i.

Если два звена соединены вращательной парой (рис 7.1а), то при вращении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров _i, S_i, a_i и _i переменным будет параметр _i, то есть во вращательной кинематической паре:

q_i = _i, Si = const, a_i = const, _i = const.

Если два звена соединены поступательной парой (рис. 7.1б), то при перемещенииi-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров _i, S_i, a_i и _i переменным будет параметр S_i, то есть в поступательной паре:

q= S_i, _i = const, a_i = const, _i = const.

Таким образом, из четырех параметров, ориентирующих i-ю систему координат, а следовательно, и i-е звено относительно (i-1)-го при движении i-го звена относительно (i-1)-го переменным будет один параметр _i или S_i, а три остальных – постоянны.

а) б)

Рис. 7.1

Для описания кинематики манипулятора целесообразно использовать специальную таблицу кинематических пар, в которой для конкретного манипулятора проставляются определенные значения параметров _i, S_i, a_i, _i, а переменные параметры, являющиеся обобщенными координатами, отражаются буквой q_i.

Таблица кинематических пар манипулятора

Номер (i-1)-й кинематической пары	Тип (i-1)-й кинематической пары	Номер i-го подвижного звена	Параметры кинематической пары
			i	Si	ai	i
0 1 . . . n-1	вращательная или поступательная	1 2 . . . n

Рассмотрим пример манипулятора, образованного последовательностью кинематических пар: вращательная – поступательная – вращательная (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Специальные системы координат звеньев манипулятора

Обоснуем выбор систем координат звеньев манипулятора.

Система О₀X₀Y₀Z₀ выбрана произвольно при обеспечении направления оси Z₀ по оси кинематической пары А₀.

В системе О₁X₁Y₁Z₁: ось Z₁ направлена по направляющей кинематической пары А₁ и совмещена с осью Z₀. Начало координат О₁ может быть выбрано в любой точке оси Z₁ – в нашем случае она совмещена с точкой О₀. Поэтому S₁ = a₁ = 0, оси Z₀ и Z₁ совпадают, значит ₁ = 0. Переменным является угол ₁, так как звено 1 вращается относительно звена 0, следовательно, q₁ = ₁.

Система координат О₂X₂Y₂Z₂ выбрана по ранее изложенному правилу: так как пара поступательная (звено 2 перемещается относительно звена 1), то расстояниебудет переменным, следовательно, . Величины ₂, а₂ и ₂ найдены по общему правилу: , 0,5,.

Система О₃X₃Y₃Z₃ выбрана по правилу для действующего n-го (последнего) звена: начало О₃ координат назначено в центре А₃ схвата, ось Х₃ направлена перпендикулярно оси Z₂. Так как пара А₂ вращательная, то переменным параметром будет угол , следовательно, . Параметры S₃, a₃ и ₃ определяются по общему правилу: S₃ = 0 (так как после поворота оси Х₂ на угол осиисовпали),=,₃ = - 90^o и являются постоянными.

Примечание: и– некоторые фиксированные значения параметрови.

Заполним таблицу кинематических пар для данного манипулятора.

Номер (i-1)-й кинематической пары	Тип (i-1)-й кинематической пары	Номер i-го подвижного звена	Параметры кинематической пары
			i	Si	ai	i
0	Вращательная	1	q1	0	0	0
1	Поступательная	2		q2
2	Вращательная	3	q3	0		-

Прямая задача кинематики манипуляторов заключается, как отмечалось, в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) системе координат по известным значениям обобщенных координат и при известных значениях кинематических размеров звеньев.

Важным частным видом прямой задачи кинематики манипулятора является определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора.

Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра А_n и ориентация последнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, когда в центр А_n схвата помещено начало n-й системы координат, для определения положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат в системе координат, связанной с 0-м звеном.

Запишем формулу (6.2) для n звеньев, как бы «пятясь» от звена n к звену 0.

Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, получим

или в более общем виде , (7.1)

где (7.2)

Каждый элемент матрицы Т_0n содержит информацию о взаиморасположении систем координат О_nX_nY_nZ_n и О₀X₀Y₀Z₀:

Обратим внимание на важное обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата. Отсюда вытекает следующее следствие:

, так как .

Таким образом, первые три элемента 4-го столбца матрицы T_0n, а именно элементы представляют собой координаты центра схвата. Это объяснятся еще и тем, что эти элементы, согласно зависимостям (6.3) – (6.6), являются координатами, которые отражают смещение (перенос) начала координат n-й системы относительно 0-й неподвижной системы координат.

В нашем же случае начало координат n-й системы и центр схвата, как отмечалось, совпадают, что и подтверждают равенства:

х = y = z = .

Матрица T_0n по структуре полностью аналогична любой матрице Т_i-1,i (6.7).

Значит, как и в матрице Т_i-1,i, 1-й элемент 2-го столбца и первые два элемента 3-го столбца будут являтьсянаправляющими косинусами осей z_n и y_n относительно осей х₀ и y₀, а именно:

; ; .

Теперь можно определить углы между соответствующими осями:

, , .

Именно эти углы применительно к звеньям i-1 и i показаны на рисунке 6.14б.

Перепишем матрицу T_0n, опустив верхние индексы

.

(7.3)

Заметим, что положение схвата в пространстве (координаты его центра А_n и ориентацию n-го звена) мы определяем шестью наддиагональными элементами матрицы T_0n. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы T_0n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.

Следовательно, отпадает необходимость в использовании формулы (7.1), а достаточно использовать выражение (7.3) в виде

(7.4)

и воспользоваться наддиагональными элементами а₁₂, а₁₃, а₂₃ и а₁₄, а₂₄,а₃₄.

Для определения положения любого промежуточного -го звена манипулятора относительно стойки надо перемножить соответствующее число первых слева матриц перехода, то есть воспользоваться выражением

Наддиагональные элементы дадут искомое решение.

Можно также определить положение любого k-го звена относительно m-го звена (km) по формуле

.

Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы – сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар манипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.

Перемножение справа налево, видимо, более наглядно, т. к. последовательно координаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат: «счет пятясь». Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.

Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание наддиагональных элементов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.