8.2. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов на основе линейной зависимости между абсолютными и обобщенными скоростями (управление по скорости)

Как известно, положение схвата манипулятора однозначно определяется его обобщенными координатами, а именно:

,

(8.6)

где: – вектор абсолютных координат схвата;

–вектор обобщенных координат манипулятора;

–число степеней подвижности манипулятора.

Дифференцируя (8.6) по времени, получим

,

(8.7)

где – матрица Якоби размерностьюдля преобразования (8.7).

В терминах рассматриваемой нами обратной задачи кинематики манипуляционных систем матрица Якоби (размерностью ) имеет вид:

Зависимость (8.7) более подробно можно представить следующим образом:

(8.8)

Зависимости (8.7) и (8.8) показывают, что между абсолютными скоростями и обобщенными скоростямисуществует линейная связь, однако коэффициенты в этой линейной связи переменные, так как элементы матрицы Якоби, которые образуют эти коэффициенты в различных сочетаниях, есть величины переменные.

Выражение (8.7) представляет собой прямую скоростную задачу и её решение при известных (заданных) функциях не представляет собой принципиальных трудностей.

Решим зависимость (8.7) относительно обобщенных скоростей , а именно:

(8.9)

Эта зависимость и есть решение обратной задачи по скорости, которая часто используется для управления манипуляционным роботом в режиме on-line.

При этом вектор обобщенных координат Q является неизвестным и значения приходится для данного момента времени (рассчитываемого момента реального времени) брать с датчиков обратной связи, фиксирующих текущее положениеi-го звена относительно (i-1)-го, то есть значение .

В выражении (8.9) есть обратная матрица по отношению к матрице Якоби.

Рассмотрим более подробно последовательность решения прямой и обратной скоростных задач на примере простого манипулятора с двумя степенями подвижности (рис. 8.9).

Рис. 8.9. Манипулятор с двумя степенями подвижности

Прямая задача о положении:

(8.10)

При этом: .

Обратная задача о положении:

.

(8.11)

Даже для столь простого манипулятора решение обратной задачи представляет собой нелинейные зависимости.

Для более сложных манипуляторов, как правило, найти зависимость в явном виде не представляется возможным.

Однако зависимость необходима для управления манипуляционным роботом, так как требуемое движение схвата обеспечивается соответствующими движениями звеньев манипулятора по обобщенным координатам:.

В то же время, как было указано раньше (см. зависимость (8.9)), между обобщенными скоростями и абсолютными скоростямисуществует линейная связь с переменными коэффициентами. Именно поэтому часто и переходят к управлению по скоростям.

Получим требуемые зависимости между обобщенными и абсолютными скоростями для рассматриваемого нами двухзвенного манипулятора, используя общий подход, не прибегая пока к обратной матрице Якоби.

Пример решается с целью продемонстрировать порядок получения аналитических зависимостей для управления по скоростям, считая это решение обратной задачи в явном виде (подобно выражениям (8.11)) невозможным или нецелесообразным из-за сложности.

Поэтому начнём решение с дифференцирования формул (8.10) по времени

(8.12)

Введем обозначения:

;;;;

(8.13)

Тогда:

(8.14)

Решим полученные зависимости (8.13), (8.14) относительно обобщенных скоростей и. Получим вначале явную зависимость отидля обобщенной скорости. Для этого умножим первую из зависимостей (8.14) на, а вторую на:

Вычтем из первого выражения второе: , и следовательно:

.

(8.15)

Для получения явной зависимости относительно умножим первое из выражений (8.14) на, а второе на. Тогда:

Вычитая из первого выражения второе, получим .

Откуда

(8.16)

Упростим выражения (8.15) и (8.16). Вначале упростим знаменатель дроби перед и, учитывая выражения (8.13),

Теперь выражения (8.15) и (8.16) можно записать в окончательном виде:

Или компактнее

(8.17)

В матричной форме выражения (8.17) имеют вид

.

(8.18)

Что и требовалось получить.

Выражения для обобщенных скоростей в форме (8.17) и (8.18) выше получены обычным путем алгебраических преобразований. Для сложных манипуляторных систем такой подход будет связан с громоздкими преобразованиями.

Для решения рассматриваемой задачи имеется более рациональный подход с использованием обратной матрицы Якоби.

Представим производные (8.12) и (8.14) по времени в виде выражений:

или в форме матриц:

(8.19)

Матрица, являющаяся первым сомножителем в правой части выражения (8.19), есть матрица Якоби.

Следовательно, выражение (8.19) можно записать в виде

.

(8.20)

Убедимся, что первый сомножитель в правой части выражения (8.20) есть матрица Якоби для рассматриваемого манипулятора.

Действительно, беря частные производные по иот правой части зависимости (8.10), получим

.

Данное выражение полностью совпадает с соответствующей матрицей выражения (8.19).

Получим обратную матрицу Якоби в следующей последовательности:

1. Матрица алгебраических дополнений исходной матрицы Якоби:

.

2. Присоединенная матрица – транспонированная матрица алгебраических дополнений:

.

3. Определитель исходной матрицы Якоби – Якобиан:

.

4. Обратная матрица Якоби

.

Как видно, полученное выражение полностью совпадает с первым сомножителем правой части зависимости (8.18) и, следовательно, выражение (8.9) полностью обосновано для рассмотренного примера.