Применение уравнения Шредингера

U=

U=

0

l

x

Рис. 3

а) Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х и ее движение ограничено непроницаемыми стенками в точках х = 0 и х = l.

Зависимость потенциальной энергии от координат имеет в этом случае следующий вид (рис. 3):

(32)

Поскольку волновая функция в данном случае зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:

. (33)

Рис. 4

Решая уравнение (6.33) с использованием стандартных условий, можно получить собственные значения энергии частицы:

(34)

Энергетический спектр, как следует из (34), является дискретным. При этом расстояние между соседними энергетическими уровнями не является постоянным, а увеличивается с увеличением номера энергетического уровня. Нормированные собственные функции частицы в этом случае имеют вид

Рис. 5

Графики этих функций показаны на рис. 4.

На рис. 5 дана зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от координаты x на различных расстояниях от стенок ямы, равная ^*.

б) Прохождение частиц через потенциальный барьер

E

U₀

U

0

l

x

Рис. 6

Пусть частица с энергией Е, движущаяся слева направо вдоль оси х, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l (рис. 6). Из решения уравнения Шредингера в этом случае вытекает, что, во-первых, даже при Е> U₀

имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера. Во-вторых, при Е<U₀ имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > l. Вероятность прохождения частицы через барьер может быть названа коэффициентом прозрачности D. Расчеты показывают, что в данном случае

. (36)

Рис. 7

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 7) формула (36) должна быть заменена более общей формулой

, (37)

где U = U(x).

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (рис. 7), в связи с чем это явление называют туннельным эффектом.

2.3. Боровская теория атома водорода

Теория атома, предложенная Н. Бором, основана на двух постулатах.

1. Электрон в атоме может находиться только в одном из дискретных стационарных состояний, удовлетворяющих правилу квантования . При этом излучение и поглощение энергии не происходит.

2. Излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона:

. (17)

Применение этих постулатов для расчета параметров атома водорода позволило найти:

1) радиусы стационарных орбит

; (18)

2) cкорости движения электрона на этих орбитах

; (19)

3) энергии стационарных состояний атомов

; (20)

4) длины волн спектральных линий, возникающих при переходах электрона из одного стационарного состояния (с номером n₁) в другое (с номером n₂):

, (21)

где – постоянная Ридберга.

При этом возникает несколько спектральных серий (групп линий) в зависимости от номера энергетического уровня n₂, на который переходит электрон:

n₂ = 1 – серия Лаймана,

n₂ = 2 – серия Бальмера,

n₂ = 3 – серия Пашена,

n₂ = 4 – серия Брэккета.