Тема 1. Логика высказываний

1.1. Логические операции над высказываниями

Высказыванием называется предложение, представляющее собой такое утверждение, относительно которого можно судить, истинно оно или ложно. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

По совокупности всех высказываний определяется функция истинности, принимающая значения в двухэлементном множестве {0, 1}:

Значение (P) называется значением истинности высказывания P.

Символ λ обычно опускают. Это связанно с тем, что в алгебре высказываний полностью отвлекаются от содержания высказываний, а изучают их только в связи с их свойством быть истинными или ложными. Поэтому каждое ложное высказывание можно рассматривать как элемент 0, а истинное – как элемент 1 и писать вместо λ(Р) = 0 или λ(Р) = 1 только Р = 0 или Р = 1.

Над высказываниями определяются следующие основные операции (логические связки), которые позволяют из имеющихся операций строить новые:

1. отрицание P (читается "не P");

2. конъюнкция PQ или PQ (читается "P и Q");

3. дизъюнкция PQ (читается "P или Q");

4. импликация PQ (читается "если P, то Q" или "из P следует Q" );

5. эквивалентность PQ (читается "P равносильно Q" или "P тогда и только тогда, когда Q").

Операция отрицания определяется следующим образом: если P истинно, то P ложно и наоборот. Остальные операции определяются по таблице 1 (таблице истинности соответствующих операций).

Таблица 1

Операнды		Определение операции
P	Q	PQ	PQ	PQ	PQ
0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Следует обратить внимание, что конъюнкция PQ истинна тогда и только тогда, когда P и Q одновременно истинны, а в остальных случаях ложна. Конъюнкцию называют логическим произведением.

Дизъюнкция PQ ложна тогда и только тогда, когда P и Q одновременно ложны, а в остальных случаях истинна. Дизъюнкцию называют логической суммой.

Импликация PQ ложна тогда и только тогда, когда P = 1, а Q = 0. Импликация играет важную роль в логике высказываний. При учете смыслового содержания высказывания (а не только значений истинности) оборот “если, то” подразумевает причинно-следственную связь. Истинность импликации означает лишь то, что если истинна посылка, то истинно и заключение. При ложной посылке заключение всегда истинно.

Эквивалентность PQ истинна тогда и только тогда, когда значения истинности P и Q совпадают.

С помощью логических операций можно из простых высказываний строить формулы логики высказываний, представляющие составные высказывания.

1.2. Формулы логики высказываний. Следование и равносильность формул

Пропозициональными переменными называются такие переменные, вместо которых можно подставлять конкретные высказывания.

Понятие формулы логики высказываний определяется следующим (индуктивным) образом:

1. всякая пропозициональная переменная есть формула;

2. если F₁ и F₂ – формулы, то выражения F, (F₁F₂), (F₁F₂), (F₁F₂), (F₁F₂) тоже являются формулами;

3. других формул, кроме построенных по правилам двух предыдущих пунктов, нет.

Обычно внешние скобки у формулы не пишут. Подформулой формулы называется всякая ее часть, которая сама является формулой.

Если F(X₁, X₂,…, X_n) – формула алгебры высказываний, содержащая пропозициональные переменные X₁, X₂,…, X_n, и A₁, A₂,…, A_n – некоторые конкретные высказывания, то, подставив последние в данную формулу вместо соответствующих пропозициональных переменных, получим составное высказывание F(A₁, A₂,…, A_n).

Формула F(X₁, X₂,…, X_n) называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор высказываний A₁, A₂,…, A_n, который обращает эту формулу в истинное (ложное) высказывание F(A₁, A₂,…, A_n).

Формула называется тождественно истинной, или тавтологией (тождественно ложной, или противоречием), если она обращается в истинное (ложное) высказывание при всех наборах значений переменных. Обозначение тавтологии: ⊨F(X₁, X₂,…, X_n).

Некоторые тавтологии играют большую роль в логике и поэтому называются законами: законы рефлексивности PP, исключенного третьего ¬PP, закон отрицания противоречия ¬(¬PP), закон двойного отрицания ¬¬PP, законы де-Моргана ¬(PQ)(PQ), ¬(PQ)(PQ) и другие.

Высказывания вместе с определенными для них операциями образуют алгебру высказываний.

На множестве формул логики высказываний можно определить семантические (смысловые) отношения следования и равносильности. Эти отношения играют важную практическую роль при упрощении логических выражений и построении корректных логических выводов.

Формула G(X₁, X₂,…, X_n) называется логическим следствием формул F₁(X₁, X₂,…, X_n) , …, F_m(X₁, X₂,…, X_n) , если она обращается в истинное высказывание на всяком наборе значений переменных, для которых в истинное высказывание обращаются все формулы F₁ , …,F_m. Это обозначается F₁ , …,F_m ⊨G.

Две формулы логики высказываний называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают. Равносильность формул F и G будем обозначать следующим образом: F  G. Для того чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей формул логики высказываний.

Для любых формул P, Q, R справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) PQ QP (для конъюнкции);

б) PQ  QP (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) P(QR)  (PR)R (для конъюнкции);

б) P(QR)  (PQ)R (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) P(QR)  (PQ)(PR) (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) P(QR)  (PQ)(PR) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (PQ)PQ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (PQ) PQ (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) PP  P (для конъюнкции);

б) PP  P (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) P(PQ)  P (1-й закон поглощения);

б) P(PQ) P (2-й закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а) (PQ)(PQ)  P (1-й закон расщепления);

б) (PQ)  (PQ)  P (2-й закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(P)  P.

9. Свойства констант.

а)P1  P; б) P0  0; в)P1  1;

г) P0  P; д) 0 1; е) 1 0.

10. Закон противоречия.

PP  0.

11. Закон исключенного третьего.

PP  1.

12. PQ PQ (PQ).

13. PQ  (PQ)(QP)  (PQ)  (PQ) PQ)(PQ).

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”.