4.1 Основные понятия нечетких множеств

Пусть М – некоторое множество, рассмотрим какое-либо подмножество А этого множества. Для любого хМ имеем хА или хА. Можно ввести характеристическую функцию подмножества А:

Тогда, например, если M={a, b, c, d, e, f, g, h} и A={a, b, c, d}, имеем:

x	а	b	с	d	е	f	g	h
A(x)	1	1	1	1	0	0	0	0

Для универсального множества М: х _M (x) = 1.

Множества, для которых характеристическая функция принимает только значения 0 или 1, будем называть четкими. Классическая логика оперирует с четкими множествами.

Для нечетких множеств характеристическая функция может принимать любые значения из интервала [0,1]. Например,

x	а	b	с	d	е	f	g	h
A(x)	1,0	0,1	0,8	0,7	0,5	0,2	0,0	0,1
B(х)	0,1	0,3	0,8	0,9	0,5	0,1	0,0	0,0

Для записи нечетких множеств используется обозначение: А={(х, _A (х))| xM}. Запись характеризует степень принадлежности элементаx множеству A.

Для нечетких множеств определены отношение включения () и равенства (=):

АВ тогда и только тогда, когда xM: _A (х)  _B (х);

А=В тогда и только тогда, когда xM: _A (х) = _B (х).

Над нечеткими множествами выполняются операции:

Дополнение А:

Пересечение:

Объединение:

АВ={(х, max {_A (х), _B (х)}) | xM }.

4.2 Элементы нечеткой логики

Нечетким высказыванием называется высказывание P, степень истинности которого _P можно оценить числом из интервала [0, 1], _P Î [0, 1].

Нечеткой высказывательной переменной X называется нечеткое высказывание X, степень истинности которого может меняться в интервале [0, 1].

Так как степень истинности нечеткого высказывания не связана с сутью высказывания, будем в дальнейшем отождествлять нечеткое высказывание с его степенью истинности аналогично тому, как обычное четкое высказывание отождествлялось с его истинностью или ложностью. Нечеткие высказывания и степень их истинности будем обозначать буквами: P, Q, X, и т. д.

На множестве нечетких высказываний вводятся логические операции, аналогичные операциям алгебры высказываний.

1. Отрицание нечеткого высказывания:P= 1 – P.

2. Конъюнкция нечетких высказываний: PQ = min(P, Q).

3. Дизъюнкция нечетких высказываний: PQ= max(P, Q).

4. Импликация нечетких высказываний: PQ = max (1 –P, Q).

5. Эквивалентность нечетких высказываний:

P Q = min (max (1 –P, Q), max (P, 1 –Q)).

Пример 4.1.

Найти степень истинности высказывания

R = (PQ)  (PPQ)) при P= 0,9; Q = 0,3.

1. PQ = min(0,9; 0,3) = 0,3.

2. (PPQ)) = max (1 – 0,9; 0,3) = 0,3.

3. PQ = max (0,9; 0,3) = 0,9.

4. R = min (max (1 – 0,9; 0,3), max (0,9; 1 – 0,3)) = min(0,3; 0,9) = 0,3.

Множество нечетких высказываний вместе с введенными на них операциями образуют алгебру нечетких высказываний.

Нечеткой логической формулой называется:

1. любая нечеткая высказывательная переменная;

2. если P и Q – нечеткие логические формулы, то P, PQ, PQ, PQ, P Q – тоже нечеткие логические формулы;

3. других формул, кроме построенных по правилам двух предыдущих пунктов, нет.

Пусть P(X₁, X₂, …,X_n) и Q(X₁, X₂, …,X_n) – две нечеткие логические формулы. Степенью равносильности формул P и Q называется величина

(P, Q) ={P(₁, ₂, …,_n)  Q(₁, ₂, …,_n)}

Здесь логические операции конъюнкции и эквивалентности имеют смысл, определенный для логических операций над нечеткими высказываниями, причем конъюнкция берется по всем наборам степеней истинности (₁, ₂, …,_n) нечетких переменных (X₁, X₂, …,X_n).

Если (P, Q) = 0,5, то нечеткие формулы P и Q называются индифферентными.

Если (P, Q) > 0,5, то нечеткие формулы P и Q называются нечетко равносильными.

Если (P, Q) < 0,5, то нечеткие формулы P и Q называются нечетко неравносильными.

Степенью неравносильности формул P и Q называется величина

(P, Q) = 1 – (P, Q) .

Пример 4.2.

Определить степень равносильности формул.

P = XY,Q= XYпри условии, что X и Yпринимают значения степеней истинности из множества {0,1; 0,3}. Перечислим все возможные наборы значений X и Y

A₁ = {0,1; 0,1}; A₂ = {0,1; 0,3}; A₃ = {0,3; 0,1}; A₄ = {0,3; 0,3}.

Запишем формулы P и Q с учетом определений логических операций:

P = XYmax (1 –X, Y); Q =XY1 – XY1 – min(X, Y).

Вычислим формулы P и Q на каждом из четырех наборов A₁ – A₄:

P1 = max (1 – 0,1; 0.1) = 0,9. P2 = max (1 – 0,1; 0,3) = 0,9. P3 = max (1 – 0,3; 0,1) = 0,7. P4 = max (1 – 0,3; 0,3) = 0,7.

Q1 = 1 – min( 0,1; 0.1) = 0,9. Q2 = 1 – min(0,1; 0,3) = 0,9. Q3 = 1 – min(0,3; 0,1) = 0,9. Q4 = 1 – min (0,3; 0,3) = 0,7.

Вычислим теперь степень равносильности формул P и Q. Для этого сначала вычислим P(₁, ₂, …,_n)  Q(₁, ₂, …,_n) для всех наборов A₁ – A₄:

P Q = min (max (1 –P, Q), max (P, 1 – Q)).

Поэтому

P₁ Q₁ = min (max (1 – 0,9;0,9), max (0,9; 1 –0,9)) = 0,9.

P₂ Q₂ = min (max (1 – 0,9;0,9), max (0,9; 1 –0,9)) = 0,9.

P₃ Q₃ = min (max (1 – 0,7;0,9), max (0,7; 1 –0,9)) = 0,7.

P₄ Q₄ = min (max (1 – 0,7;0,8), max (0,7; 1 –0,7)) = 0,7.

Окончательно получим

(P, Q) ={P(₁, ₂, …,_n)  Q(₁, ₂, …,_n)} = 0,90,90,70,7 = min(0,9; 0,9; 0,7; 0,7) = 0,7.

Формулы P и Q нечетко равносильны.

На других наборах степеней истинности нечетких переменных X и Y формулы P и Q могут быть нечетко неравносильны.