Геологи(1 курс). Математика. / Тема_19_ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
.DOC
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу.
Пусть
в определенном интеграле
нижний предел a
закреплен, а верхний предел меняется.
Тогда будет меняться значение определенного
интеграла, т.е. интеграл
можно рассматривать как функцию верхнего
предела.
Обозначим верхний предел через x , а переменную интегрирования через t , тогда функция
(1)
численно
равна площади криволинейной трапеции
,
изображенн
ой
на рисунке.
Пусть
x
получит приращение ∆x
, тогда функция Ф(x)
получит приращение ∆x
, равное площади криволинейной трапеции
:
Применим к последнему интегралу теорему о среднем, выбрав
:
Найдем производную функции Ф(x) как
,
т.к.
при
Нами доказана следующая _теорема.:
если
f(x)
непрерывная функция и
, то
имеет место равенство
,
т.е. (2)
производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции:
в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.
II. Формула Ньютона- Лейбница.
На основе доказанной теоремы получим простой способ вычисления
определенного интеграла.
Пусть
- некоторая первообразная функции
f(x)
.
В
соответствии с доказанной теоремой
также является первообразной функции.
Поскольку любые две первообразные
отличаются только на постоянную величину
C
, можно записать
(3)
Положим x=a и учитывая свойства определенного интеграла, получим
Откуда
Обозначая x через b и t через x и подставляя в (3) найденное значение, приходим к формуле, известной под названием формулы Ньютона-Лейбница:
(4)
или
Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный способ вычисления определенных интегралов в отличие от вычисления их как пределов интегральных сумм.
_Примеры.: вычислить определенные интегралы
Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной подынтегральной функции и вычислению разности ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. При этом методы нахождения первообразной рассматривались при изучении неопределенных интегралов.
III. Замена переменной в определенном интеграле.
Реализация метода замены переменной в определенном интеграле производится по следующим правилам.
Пусть дан интеграл от непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x).
Введем
новую переменную t
по формуле
Если
,
, функции
и
непрерывны на отрезке [α‚β]
и функция
определена и непрерывна на отрезке
, то
(5)
При вычислении определенного интеграла по этой формуле можно не возвращаться к старой переменной x, так как для переменной определены соответствующие пределы интегрирования α и β .
_Пример.. Вычислить интеграл
Введем
новую переменную t
по формуле
,
тогда
Определим новые пределы интегрирования:
x=0
при
;
x=r
при
.
Следовательно,
IV. Интегрирование по частям.
Получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. Для этого воспользуемся формулой производной произведения двух функций u(x) и v(x) :
откуда
и
Тогда
Вычислим
,
тогда окончательно формула интегрирования
по частям имеет вид:
(6)
_Пример.. Вычислить интеграл
V. Приближенные вычисления определенного интеграла.
Методы приближенного вычисления определенных интегралов используются в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции или ее нахождение вызывает значительные трудности. При этом не удается использовать формулу Ньютона-Лейбница. Существует несколько способов приближенного интегрирования. Все они основаны на понятии об определенном интеграле как пределе интегральных сумм.
Любой метод приближенного интегрирования включает следующие основные этапы:
1) отрезок интегрирования [a,b] разбивается точками
на
n
равных частей длиной ∆x
;
2)
в точках
вычисляются
значения интегрируемой функции f(x) , которые обозначим через
3) на каждом из отрезков функция f(x) заменяется на некоторую более простую функцию (постоянную, линейную, квадратичную
или
другую), проходящую через точки
и
;
4)
при этом рассматриваемая криволинейная
трапеция заменяется на некоторую близкую
к ней фигуру, состоящую из суммы n
криволинейных трапеций с легко
вычисляемыми площадями
.
5)
определенный интеграл (площадь
криволинейной трапеции)
может быть найден как сумма конечного
числа площадей
,
вычисляемых по известным формулам:
В зависимости от того, на какую фигуру заменяется криволинейная трапеция, различают следующие методы приближенного интегрирования:
1)
метод прямоугольников: криволинейная
трапеция заменяется на вписанную или
описанную ступенчатую фигуру. В первом
случае площадь i
-го прямоугольника определяется
во
втором случае
Учитывая,
что
,
получим формулу прямоугольников:
или
Тогда
(7)
или
Первая из формул дает приближенное значение определенного интеграла меньшее точного, вторая - большее точного.
2)
метод хорд: на каждом отрезке
функция
f(x)
заменяется линейной функцией
В этом случае площадь криволинейной трапеции можно представить как
сумму трапеций с площадями
Тогда
Тогда
-
(8)
формула трапеций.
3) метод парабол (Симпсона): через каждые три точки на кривой
проводят параболу и вычисляют площади получающихся криволинейных
трапеций.
Точность методов вычисления определенных интегралов определяет-
ся, во-первых, мелкостью разбиения отрезка [a,b] , во-вторых,
степенью приближения функции f(x) на i -ом интервале. Точ-
ность вычислений по каждому из перечисленных методов возрастает с
уменьшением
величины
, т.е. с возрастанием числа n
Второй критерий показывает, что точность вычислений методом
хорд выше, чем методом прямоугольников, а методом Симпсона выше, чем
методом хорд.