Раздел 1. Элементы векторной алгебры. Лабораторные работы №1-2.

Индивидуальное задание № 1.

Операции над векторами

При выполнении настоящей лабораторной работы следует использовать действия над векторами: умножение на число, сложение; скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

ВАРИАНТ 1

1. Даны координаты вершин пирамиды A(1, –3, 1), B(–3, 2, –3), C(–3, –3, 3), D(‑2, 0, –4). Найти:

1. длину ребра AB;

2. площадь грани ABC;

3. угол между ребрами AB и AC;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины D.

2. Относительно АСК дан прямоугольный треугольник ABC с вершинами в точках A(0, 1), B(3, 2), C(1, 0) и прямым углом при вершине B и катетами , . Определить длины базисных векторов , и угол между ними.

ВАРИАНТ 2

1. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, –1, 6), А₂(4, 5, –2), А₃(–1, 3, 0), А₄(6, 1, 5). Найти:

1. длину ребра А₂А₃;

2. площадь грани А₁А₂А₃;

3. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины А₄.

2. Длины базисных векторов АСК , и угол . Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника A(1, 0), B(1, 3), C(2, 1). Определить длины сторон AB и AC и угол A.

ВАРИАНТ 3

1. Даны координаты вершин пирамиды A(1, 1, 1), B(3, 4, 0), C(‑1, 5, 6), D(4, 0, 5). Найти:

1. длину ребра BC;

2. площадь грани ABC;

3. угол между ребрами AB и AC;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины D.

2. Даны , и угол . Найти угол между векторами и и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

ВАРИАНТ 4

1. Даны координаты вершин пирамиды A(0, 0, 0), B(5, 2, 0), C(2, 5, 0), D(1, 2, 4). Найти:

1. длину ребра BC;

2. площадь грани ABC;

3. угол между ребрами AB и AC;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины D.

2. Даны , и угол . Найти угол между векторами и и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

ВАРИАНТ 5

1. Даны координаты вершин пирамиды, А₁(–7, 1, 2), А₂(1, 5, 3), А₃(‑5, –1, 3), А₄(4, 5, –1). Найти:

1. длину ребра А₂А₃;

2. площадь грани А₁А₂А₃;

3. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины А₄.

2. Длины базисных векторов АСК , и угол . Относительно этой системы координат даны два вектора и . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и и угол .

ВАРИАНТ 6

1. Даны координаты вершин пирамиды А₁(–2, 3, –2), А₂(2, –3, 2), А₃(2, 2, 0), А₄(1, 5, 5). Найти:

1. длину ребра A₂A₃;

2. площадь грани A₁A₂A₃;

3. угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины A₄.

2. Относительно АСК дан треугольник ABC с вершинами в точках A(2, 1), B(4, 3), C(3, 5), длины сторон которого , , . Определить длины базисных векторов и и угол .

ВАРИАНТ 7

1. Дан тетраэдр, построенный на векторах , , . Найти:

1. объем тетраэдра;

2. площадь грани ABC;

3. длину высоты, проведенной из вершины D;

4. косинус угла между ребрами AB и BC;

5. косинус угла между гранями ABC и ADC.

2. Длины базисных векторов АСК , и угол . Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника A(1, 3), B(1, 0), C(2, 1). Найти длины сторон треугольника AB и AC, угол A, площадь треугольника ABC.

ВАРИАНТ 8

1. Даны координаты вершин треугольника A(–1, 1, 2), B(1, 1, 0), C(2, 6, –2). Найти:

1. площадь треугольника;

2. косинус угла A;

3. длину высоты BH и координаты вектора ;

4. вектор, коллинеарный биссектрисе угла A;

5. координаты центра тяжести этого треугольника.

2. Относительно АСК дан прямоугольный треугольник ABC с вершинами в точках A(1, 0), B(0, 1), C(3, 2), прямым углом при вершине C и катетами и . Определить длины базисных векторов и и угол .

ВАРИАНТ 9

1. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(2, –3, 1), B(–1, 1, 1), C(–4, 5, 6), D(2, –3, 6). Доказать, что ABCD – плоский четырехугольник. Найти:

1. площадь четырехугольника;

2. косинус угла A;

3. вектор , коллинеарный биссектрисе угла A;

4. вектор , где H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC.

2. Относительно аффинной системы координат дан треугольник ABC с вершинами в точках A(1, 1), B(5, 3), C(3, 5), длины сторон которого суть , , . Определить длины базисных векторов и и угол .

ВАРИАНТ 10

1. Дана призма, построенная на векторах , , . Найти:

1. объем призмы;

2. площадь грани ABB'A';

3. высоту, опущенную на грань ABB'A';

4. угол .

2. Дана система координат , причем , , угол . Найти угол между векторами и и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

ВАРИАНТ 11

1. Даны вершины пирамиды A(4, 2, –1), B(3, 0, 4), C(0, 0, 4), D(5, –1, –3). Найти:

1. длину ребра BC;

2. площадь грани ABC;

3. угол между ребрами AB и AC;

4. объем пирамиды;

5. длину высоты, опущенной из вершины D.

2. Длины базисных векторов АСК , и угол . Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника A(1, 3), B(1, 0),C(2, 1). Определить длины сторон AB и AC, угол A и площадь этого треугольника.

ВАРИАНТ 12

1. Даны вершины тетраэдра A(2, –4, 5), B(–1, –3, 4), C(5, 5, –1), D(1, –2, 2). Найти:

1. объем тетраэдра;

2. длину высоты AH;

3. угол между ребрами AB и AC;

4. площадь грани ABC.

2. Зная длины базисных векторов , и угол , найти длины векторов , , угол , площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

ВАРИАНТ 13

1. Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D', построенный на векторах , , . Найти:

1. объем параллелепипеда;

2. площадь грани ABCD;

3. длину высоты, опущенной из вершины A' на грань ABCD;

4. косинус угла между гранями ABCD и ADD'A';

5. косинус угла между ребром AB и диагональю B'D.

2. Длины базисных векторов АСК , , и угол . Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника A(1, 3), B(1, 0), C(2, 1). Определить длины сторон AB и AC, угол A и площадь треугольника.

74