Векторная алгебра. Часть первая

1. Проверить, линейно зависима система векторов или нет, где , , . Определить коэффициенты , если .

   1. Нет. , ,

   2. Да. ,,

   3. Да. , ,

   4. Нет. , ,

2. В тетраэдре АВСD даны ребра, выходящие из вершины А: , , . Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра.

   1., ,

   2. , ,

   3.,,

   4.,,

3. Даны вектора и найти координаты вектора , если .

   1.

   2.

   3.

   4.

4. В АСК с базисом , , задан вектор . Найти координаты точки М в данной АСК.

   1. (3, 5, −6)

   2.

   3. (6, 10, −12)

   4. (, , )

5. Дана точка С, делящая отрезок АВ в отношении . Координаты точек А(5, 4, 3), В(0, −1, 0). Определить расположение точки С.

   1.

   2. С(5, 5, 3)

   3. С(−5, −6, −3)

   4.

6. В АСК заданы векторы , и . На отрезке АВ находится точка N. Известно, что , длина . Найти координаты точки N.

   1. N(3, 5, 5)

   2.

   3.

   4. N(0, −2, 2)

7. Дан вектор . Найти вектор , перпендикулярный к вектору , равный ему по длине и направленный так, что, будучи отложены от одной и той же точки, векторы и образуют пару, имеющую ту же ориентацию, какую имеет пара единичных векторов осей Ox и Oy.

   1.

   2.

   3.

   4.

8. Дан куб , со стороной АВ=5. Точка К делит ребро ВВ в отношении 1:4, а точка Р делит ребро DC в отношении 2:3. Найти длину отрезка КР.

   1. 6,5

   2.

   3.

   4.

9. Зная радиусы-векторы r, r, r вершин треугольника, найти радиус-вектор точки пересечения его медиан.

   1.

   2.

   3.

   4.

10. В ΔABC точка K делит медиану BM в отношении 2:5, , . Найти координаты точки B в АСК .

    1. (–0,5; 1,6)

    2. (1; 0)

    3. (2; 5)

    4. (1,4; –0,4)

11. Дан равносторонний треугольник АВС, у которого длины сторон равны 1. Полагая , , вычислить выражение .

    1. 3

    2. −1,5

    3. −5

    4.

12. Определить угол между векторами и .

    1. arccos8

    2. 0

    3.

    4.

13. Дано , . Найти проекцию вектора на направление вектора .

    1. 1

    2. 3

    3. –8

    4. 0

14. Дано , . При каком m вектор противоположен вектору и имеет единичную длину?

    1. 4

    2. 0,6

    3. 0,8

    4. –3

15. Дан базис , , угол между векторами . Точки А(1, 3), В(2, 1) в АСК . Найти длину отрезка АВ.

1.

2. 6

3.

4. 8

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
3	1	2	1	1	2	1	2	1	4	2	4	3	3	3

Векторная алгебра. Часть вторая

1. Вычислить площадь параллелограмма, если две его стороны представлены в виде векторов , , где , – орты ПДСК.

   1. 3

   2. 15

   3. 1,2

   4. 21

2. Дано . Найти α, если ,  – базис.

   1. 0

   2. 3

   3. 5

   4. 15

3. Дано , . Найти высоту параллелограмма, построенного на данных векторах, опущенную на сторону b.

   1. 18

   2. .

   3.

   4. 36

4. Найти смешанное произведение векторов , , .

   1. 0

   2.

   3. 33

   4. 3

5. Вычислить .

   1. 0

   2.

   3.

   4.

6. Найти объём пирамиды с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).

   1.

   2.

   3. 29

   4. 7

7. Дано . При каком х векторы компланарны?

   1. 0

   2. 2

   3. при любом х

   4. таких x нет

8. Дано . Найти .

   1. 0

   2.

   3.

   4.

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ длины сторон AB, AD и AA₁ равны соответственно 6, 4 и 3, точка M делит сторону B₁C₁ в отношении 3:1, точка K делит сторону DD₁ в отношении 1:2. Найти площадь треугольника AMK.

   1.

   2.

   3. 13,2

   4.

10. Вычислить координаты вектора , если даны координаты векторов , , и , а тройка – левая.

    1.

    2.

    3. недостаточно данных

    4.

11. Найти модуль векторного произведения векторов и , если , , угол между и равен .

    1. 1

    2. –1

    3. 5

    4. 4

12. Дано , угол между и равен , угол между и равен . Найти смешанное произведение .

    1. 3

    2. 6

    3. –1,5

    4. 1,5

13. Найти высоту тетраэдра KLMN, опущенную на грань KLN, если , , где , угол между векторами и равен , .

1. 3

2. 1

3. 2

4. 4

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	4	3	3	1	2	4	2	2	1	3	3	1

4