Определитель:

∆ = (-1)¹⁺¹1 • (-80)+(-1)²⁺¹(-1) • 8+(-1)³⁺¹3 • 40+(-1)⁴⁺¹4 • 8 = 1 • (-80)-(-1) • 8+3 • 40-4 • 8 = 16

4. Найти произведение матриц

а)

б)

5. Найти обратные матрицы и сделать проверку

а)

Главный определитель

∆=1•(-2•(-2)-(-1•5))-1•(-2•(-2)-(-1•(-1)))+5•(-2•5-(-2•(-1)))=-54

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.

Найдем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(-2•(-2)-5•(-1))=9

∆_1,2=-(-2•(-2)-(-1•(-1)))=-3

∆_1,3=(-2•5-(-1•(-2)))=-12

∆_2,1=-(1•(-2)-5•5)=27

∆_2,2=(1•(-2)-(-1•5))=3

∆_2,3=-(1•5-(-1•1))=-6

∆_3,1=(1•(-1)-(-2•5))=9

∆_3,2=-(1•(-1)-(-2•5))=-9

∆_3,3=(1•(-2)-(-2•1))=0

Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

б)

Главный определитель

∆=1•(-2•1-5•5)-(-2•(-2•1-5•(-1)))+(-1•(-2•5-(-2•(-1))))=-9

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.

Найдем алгебраические дополнения.

∆_1,1=(-2•1-5•5)=-27

∆_1,2=-(-2•1-(-1•5))=-3

∆_1,3=(-2•5-(-1•(-2)))=-12

∆_2,1=-(-2•1-5•(-1))=-3

∆_2,2=(1•1-(-1•(-1)))=0

∆_2,3=-(1•5-(-1•(-2)))=-3

∆_3,1=(-2•5-(-2•(-1)))=-12

∆_3,2=-(1•5-(-2•(-1)))=-3

∆_3,3=(1•(-2)-(-2•(-2)))=-6

Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

E=A*A^-1=

6. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) По правилу Крамера

Запишем систему в виде:

B^T = (10,5,-13)

Определитель:

∆ = 5 • ((-1) • 1-5 • (-2))-1 • ((-2) • 1-5 • (-1))+(-2) • ((-2) • (-2)-(-1) • (-1)) = 36

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

10	-2	-1
5	-1	-2
-13	5	1

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 10 • ((-1) • 1-5 • (-2))-5 • ((-2) • 1-5 • (-1))+(-13) • ((-2) • (-2)-(-1) • (-1)) = 36

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

5	10	-1
1	5	-2
-2	-13	1

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 5 • (5 • 1-(-13) • (-2))-1 • (10 • 1-(-13) • (-1))+(-2) • (10 • (-2)-5 • (-1)) = -72

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

5	-2	10
1	-1	5
-2	5	-13

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 5 • ((-1) • (-13)-5 • 5)-1 • ((-2) • (-13)-5 • 10)+(-2) • ((-2) • 5-(-1) • 10) = -36