Использование рекурсии является красивым приёмом программирования. Рекурсивные версии программ, как правило, гораздо короче и нагляднее. В то же время в большинстве практических задач этот приём неэффективен с точки зрения расходования таких ресурсов ЭВМ, как память и время исполнения программы. Использование рекурсии увеличивает время исполнения программы и зачастую требует значительного объёма памяти для хранения копий подпрограммы на рекурсивном спуске. Поэтому на практике разумно заменять рекурсивные алгоритмы на итеративные. А любой рекурсивный алгоритм можно преобразовать в эквивалентный итеративный (то есть использующий циклические конструкции).

Метод перебора с возвратом

Рассмотрим алгоритм перебора с возвратом (backtracking) на примере задачи о прохождении лабиринта.

Дан лабиринт, оказавшись внутри которого нужно найти выход наружу. Перемещаться можно только в горизонтальном и вертикальном направлениях. На рисунке показаны все варианты путей выхода из центральной точки лабиринта.

Для получения программы решения этой задачи нужно решить две проблемы:

•как организовать данные;

•как построить алгоритм.

Информацию о форме лабиринта будем хранить в квадратной матрице LAB символьного типа размером N x N, где N — нечетное число (чтобы была центральная точка). На профиль лабиринта накладывается сетка так, что в каждой ее ячейке находится либо стена, либо проход.

12

Матрица отражает заполнение сетки: элементы, соответствующие проходу, равны пробелу, а стене — какому-нибудь символу (например, букве М).

Путь движения по лабиринту будет отмечаться символами +.

Например, приведенный выше рисунок (в середине) соответствует следующему заполнению матрицы LAB:

Исходные данные — профиль лабиринта (исходная матрица LAB без крестиков); результат — все возможные траектории выхода из центральной точки лабиринта (для каждого пути выводится матрица LAB с траекторией, отмеченной крестиками).

Алгоритм перебора с возвратом еще называют методом проб. Суть метода:

1.Из каждой очередной точки траектории просматриваются возможные направления движения в одной и той же последовательности (например, вверх- вниз-вправо-влево); шаг производится в первую же обнаруженную свободную соседнюю клетку; клетка, в которую сделан шаг, отмечается крестиком.

2.Если из очередной клетки дальше пути нет (тупик), то следует возврат на один шаг назад и просматриваются еще не испробованные пути движения из этой точки; при возвращении назад покинутая клетка отмечается пробелом.

3.Если очередная клетка, в которую сделан шаг, оказалась на краю лабиринта (на выходе), то на печать выводится найденный путь.

Программа строится методом последовательной детализации.

Первый этап детализации:

Program Labirint;

13

Program Labirint;

Const NN = 30; {Максимально возможный размер лабиринта} Type Field = Array[1..NN,1..NN] Of Char;

Var Lab : Field; {лабиринт}

N,M : Byte; {заданный размер лабиринта} I,J : Byte;

S : String;

Procedure PrintLab; {Вывод найденных траекторий} Var I,J : Byte;

Begin

writeln (‘-------------- <Enter>‘); For I:=1 To N Do Begin

For J:=1 To M Do Write(LaB[I,J]);

WriteLn; End; WriteLn; ReadLn

End;

Procedure Go(X,Y: Byte);

15

Begin

{Ввод лабиринта}

Write('Введите размерность лабиринта по вертикали '); ReadLn(N);

Write('Введите размерность лабиринта по горизонтали '); ReadLn(M);

WriteLn('Введите лабиринт по строкам, стены символом М’, проходы - пробелом');

For I:=1 To N Do Begin ReadLn(S);

For J:=1 To M Do

Lab[I,J]:=S[J] End;

Go(N div 2,M div 2) End.

Схема алгоритма данной программы типична для метода перебора с возвратом. По аналогичным алгоритмам решаются, например, популярные задачи об обходе шахматной доски фигурами или о расстановке фигур на доске так, чтобы они «не били» друг друга; множество задач оптимального выбора (задачи о коммивояжере, о рюкзаке, об оптимальном строительстве дорог и т.п.).

Пример 2.1.. Заданы N различных натуральных чисел. Выбрать из этих чисел такие, чтобы их сумма равнялась заданному числу Z. Вывести все возможные решения.

Например, N=6: 1, ,9, 3, 2, 5, 6. При Z=10:

19

13 6

3 2 5

Const NN = 30;

Type Mass = array[1..NN] Of Word; DopMass = Array[1..NN] Of Char;

Var A : Mass;

D : DopMass;

16