рекурсивных процедур и функций. Алгоритмы перебора с возвратом

Понятие рекурсии

Рекурсия (от латинского recursio – возвращение) — это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма (процедура или функция) в ходе выполнения ее операторов обращается сама к себе. Вообще, рекурсивным называется любой объект, который частично определяется через себя.

Пример 1.1. Что будет делать следующая программа?

Program A; Procedure Privet; Begin

Writeln(‘Привет’); Privet

End;

Begin Privet

End.

Ответ: процедура будет бесконечно выводить на экран слово “Привет”.

Но практическое использование процедур с бесконечным самовызовом невозможно. Такая невозможность вытекает из того, что для каждой копии рекурсивной процедуры необходимо выделить дополнительную область памяти, а бесконечной памяти не существует.

1

условия, неограниченный рост количества информации в стеке приведёт к аварийному завершению программы за счёт переполнения стека.

Порождение все новых вызовов рекурсивной подпрограммы до выхода на граничное условие называется рекурсивным спуском. Максимальное количество вызовов рекурсивной подпрограммы, которое одновременно может находиться в памяти компьютера, называется глубиной рекурсии. Завершение работы рекурсивных подпрограмм, вплоть до самой первой, инициировавшей рекурсивные вызовы, называется рекурсивным возвратом.

Структура рекурсивной процедуры

Структура рекурсивной процедуры может принимать три разных формы: 1) Форма с выполнением действий до рекурсивного вызова (с

выполнением действий на рекурсивном спуске):

Procedure Rec; Begin

<действия на входе в рекурсию>; If <проверка условия> then Rec [else S]

end;

Обычно проверяют, что с каждым рекурсивным вызовом значение какого-то параметра уменьшается, и это не может продолжаться бесконечно.

Пример 1.3. Вычислить значения факториала числа с выполнением

действий до рекурсивного вызова.

Program factor1; Var f,n:integer;

Procedure fact(k:integer; var S:integer);

Begin

If k>=1 then Begin

S:=k*S;

Fact(k-1,S)

End;

End;

Begin

Readln(n);

3

F:=1;

Fact(n,f);

Writeln(f) End.

В таблице Таблица 1 показана трассировка выполнения данного алгоритма при n=3.

выполнением действий на рекурсивном возврате):

Procedure Rec; Begin

If <проверка условия> then Rec [else S1];

<действия на выходе из рекурсии>; end;

Пример 1.4. Вычислить значения факториала числа с выполнением

действий после рекурсивного вызова.

Program factor2; Var f,n:integer;

Function fact(k:integer):integer; Begin

If k>=1 then fact:=fact(k-1)*k Else fact:=1

End;

Begin Readln(n);

Writeln(fact(n)) End.

В таблице Таблица 2 показана трассировка выполнения данного алгоритма при n=4.

4

Таблица 2. Выполнение действий на рекурсивном возврате

3) Форма с выполнением действий как до, так и после рекурсивного вызова (с выполнением действий, как на рекурсивном спуске, так и на

рекурсивном возврате):

Procedure Rec; Begin

<действия на входе в рекурсию>; If условие then Rec;

<действия на выходе из рекурсии> end;

или

Procedure Rec; Begin

If условие then begin

<действия на входе в рекурсию>; Rec;

<действия на выходе из рекурсии> End;

end;

Пример 1.5. Вычислить значения факториала числа с выполнением

действий до и после рекурсивного вызова.

Program factor3; Var f,n:integer;

Function fact(var f:integer; k:integer):integer; Begin

f:=f*k;

If k>1 then Fact:=Fact(f,k-1)

5

Else

Fact:=f;

End;

Begin Readln(n); f:=1;

Writeln(fact(f,n)) End.

В Таблица 3 выполнена трассировка алгоритма при n=4:

Таблица 3. Выполнение действий до и после рекурсивного вызова

Пример 1.5. Написать рекурсивную программу нахождения количества

цифр целого натурального числа n.

1) Выполнение действий на рекурсивном спуске: procedure K(N:longint; var kol:byte); begin

if N<10

then Kol:=Kol+1 else begin

Kol:=Kol+1;

K(N div 10, Kol); End;

end;

2) Выполнение действий на рекурсивном возврате: procedure K(N:longint; var kol:byte);

begin

if N<10

then Kol:=1 else begin

K(N div 10, Kol); Kol:=Kol+1;

6

End;

end;

или

Function K(N:Longint):Byte; Begin

If N<10

Then K:=1

Else K:=K(N div 10)+1

End;

3) Выполнение действий на рекурсивном спуске и на рекурсивном

возврате: program p1;

var n1:Longint; kol:Byte;

Function K(N:Longint; var kol:integer;):Byte; Begin

kol:=kol+1; If N<10

Then K:=kol

Else K:=K(N div 10,kol);

End; begin

readln(n1);

kol:=0;

writeln('kol=',k(n1,kol));

end.

Пример 1.6. Вычислить сумму элементов одномерного массива.

При решении задачи используем следующее соображение: сумма равна нулю, если количество элементов равно нулю, и сумме всех предыдущих

элементов плюс последний, если количество элементов не равно нулю.

Program Rec;

Type Mas = Array[1..100] Of Integer; Var A:Mas; I,N:Byte;

{Рекурсивная функция}

Function Summa(N : Byte; var A: Mas) : Integer; Begin

If N = 0

7

Then Summa := 0

Else Summa := A[N] + Summa(N - 1, A)

End;

{Основная программа} Begin

Write('Количество элементов массива? '); ReadLn(N);

Randomize;

For I := 1 To N Do Begin A[I] := -10 + Random(21); Write(A[I] : 4)

End;

WriteLn; WriteLn('Сумма: ', Summa(N, A))

End.

Пример 1.7. Определить, является ли заданная строка палиндромом, т.е. читается одинаково слева направо и справа налево.

Идея решения заключается в просмотре строки одновременно слева направо и справа налево и сравнении соответствующих символов. Если в какой-то момент символы не совпадают, делается вывод о том, что строка не является палиндромом, если же удается достичь середины строки и при этом все соответствующие символы совпали, то строка является палиндромом. Граничное условие — строка является палиндромом, если она

пустая или состоит из одного символа.

Program Palindrom;

Function Pal(S: String) : Boolean; {Рекурсивная функция}

End;

Var S : String;

Begin {Основная программа}

Write('Введите строку: '); ReadLn(S);

If Pal(S)

Then WriteLn('Строка является палиндромом')

8

Else WriteLn('Строка не является палиндромом')

End.

Пример 1.8. Что будет изображено в результате выполнения

программы? program sss; uses crt;

procedure print(m,n:integer); var j:byte;

begin

for j:=1 to m do write(' ');

write('*');

for j:=1 to n do write(' ');

write('*');

for j:=1 to n do write(' ');

write('*');

writeln; end;

procedure uzor(i:integer); begin

if i=4 then begin write('*******'); writeln end else begin

print((i-1),3-i); uzor(i+1); print((i-1),3-i)

end;

end; begin

clrscr;

uzor(1); end.

Ответ: снежинка

** *

* * *

9