Landsberg-1985-T2

точке поля приписывают потенциал, равный разности по­

тенциалов поля между данной точкой и «нулевой». Такое

приписывание каждой точке поля определенного «потенциа­

ла» имеет совершенно условный характер. Оно аналогич­

но тому условию, которым пользуются геодезисты при

нивелировке местности, приписывая каждой точке на зем­ ной поверхности определенную «высоту» и разумея при

ЭТО:\1 его высоту над уровнем моря, который произвольно

прпнимается за нуль для отсчета высот. Мы могли бы, од­

нако, с таким же успехом отсчитывать все высоты не от

уровня моря, а от любой иной точки, например от восточ­

ной вершины Эльбруса. Уровню моря соответствовала бы при этом высота, равная -5,4 км, а высоты всех пунктов

на земле уменьшились бiы на столько же, но это не имело бы

НИI,акого значения, ибо реальное физическое значение име­

ет только разность высот двух точек, которая, конечно,

остается прежнеЙ.

Точно так же, выбрав для отсчета разностей потенциа­ лов иную «нулевую» точку, мы получили бы для точки, значение потенциала I{QТОРОЙ ранее принималось равным

нулю, какое-то иное значение, скажем +100 В (или -30 В).

Все значения «потенциала» В отдельных точках поля уве­

личились бы тоже на 100 В (или уменьшились на 30 В), НО

это не имело бы никакого значения, ибо разность потенциа­

лов между любыми точками осталась бы прежней, а, как мы подчеркивали выше, реальный физический смысл имеет

только разность потенциалов (или напряжение) между дву­

мя точками.

Конечно, удобство измерения требует, чтобы потенциал избранной точки во все время измерения оставался неиз­ менным; иначе отсчитанные от этой точки значения потен­ циалов других точек поля были бы несравнимы между со­ бой, что крайне затруднило бы пользование этим способом

характеристики поля. Положение было бы столь же не­

удобным, как положение геодезиста, который при нивели­

ровке принял бы за нуль высоты высоту движущегося воз­

душного шара.

§ 22. Эквипотенциальные поверхности. Подобно тому как

мы графически изображаем линиями напряженность элек­

трического поля, можно изобразить и разность потенциа­ лов (напряжение).

Вообразим поверхность, для любой пары точек которой разность потенциалов равна нулю. Такая поверхность на­

зывается эквunотенциальной поверхностью или поверх-

54 .

мостью равного потенциала. Пересекаясь с плоскостью

чертежа, эта поверхность образует некоторую линию­

эквипотенциальнуюлинию. Согласно формуле (21.1), при пе­ ремещении заряда вдоль такой поверхности (или линии) работа элен;трических сил равна нулю. Это может быть

только в том случае, если направление перемещения все

время периендикулярно к действующей силе, а значит,

эквипотенциальная поверхность в любой точке nер;tендику­

лярна к линиям паля. И обратно, всякая поверхность, пер­

пендикулярная в любой точке к линиям поля, есть экви­

потенциальная поверхность, так Как перемещение заряда

вдоль этой поверхности вследствие перпендикулярности силы и перемещения не будет сопровождаться работой

электрических сил.

На чертеже мы изображаем не эквипотенциальные по­

верхности, а лишь их сечение плоскостью чертежа, т. е.

эквипотенциальные линии. С их помощью мы получаем

наглядное представление о том, как изменяется разность

потенциалов в данном поле. Их удобно чертить таким об­

разом, чтобы разность потенциалов для любых двух сосед­

них линий была одна и та же, например 1 В. ДЛЯ того что­ бы эту разность потенциалов показать на чертеже, мы вы-

~

-о

берем произвольную эквипотенциальную линию, отметим

ее цифрой О и будем проставлять возле всех остальных циф­ ры 1, 2, 3 и т. д., указывающие разность потенциалов в вольтах M~ДY точками данной эквипотенциальной линии и линии, выбранной нами за нулевую. При этом выбор ну­ левой линии (нулевой поверхности) совершенно произво­

лен, так как физический смысл име(lГ только разность по­

тенциалов для двух каких-либо поверхностей (§ 21), а эта

SS

разность, очевидно, не зависит от выбора нулевой поверх­

ности.

Рассмотрим в качестве примера поле точечного поло­

жительного заряда. В этом случае линии поля - радиаль­

ные прямые, и поэтому эквипотенциальные поверхности -

концентрические сферы, которые в каждой точке перпенди­

кулярны к линиям поля. Эквипотенциальные линии­

концентрические окружности, изображенные на рис. 40, а.

При построении этого чертежа за нулевую линию была

выбрана произвольная окружность и затем построены ок­

ру}кности с разностью потенциалов (относительно нулевой окружности) 1, 2, 3 и т. д. волы. На рис. 40, 6 показаны

построенные таким образом эквипотенциальные линии

точечного отрицательного заряда.

§ 23. В чем смысл введения разности потенциалов? В § 21

мы ввели новую величину - разность потенциалов. Для

чего же служит эта величина и в чем заключаетСЯ ее

польза?

Зная разность потенциалов для всех точек поля, т. е.

имея график эквипотенциальных поверхностей, можно

ление линий LM соответству­ ет случаю, когда при переходе от поверхности 1 к поверх­

ности 2 и т. д. потенциал убывает *).

для того чтобы найти напряженность поля в точке/а,

лежащей на эквипотенциальной поверхности 1-1, перене-

*) Конечно, рис. 41 плоский, так что, собственно_ говоря, мы изоб_

ражаем на нем лишь :жвипотеlщиальiJые линии И ЛИЦИИ поля, лежащие

в плоскости чертежа. Для полной характеристики эле){трического по­

ля в пространстве надо было бы строить пространственную модель,

что, к сожалению, слишком затруднительно.

S6

сем мысленно положительный заряд q из точки а вдоль ли­

нии Поля в соседнюю точку Ь, лежащую на эквипотенциаль­

ной поверхности 2-2. Пусть разность потенциалов между

поверхностями 1 и 2 равна Ин, а длина отрезка аЬ (т. е.

расстояние между этими поверхностями) равна 1. Тогда

работа, совершаемая электрическими силами при этом пе­

ремещении, согласно формуле (21.1), равна qU12 • С другой стороны, эта же работа равна произведению СЩIЫ F на пере­ мещение 1, т. е. равна Рl, так как направление перемеще­

ния и направление силы в этом случае все время совпадают.

Но, согласно формуле (14.1), F=qE. Поэтому искомая ра­

бота есть

qEl = qU 12'

отсюда

(23.1 )

Если напряженность поля в разных точках отрезка 1 различна, то

формула (23.1) определяет среднюю напряженность поля на отрезке 1.

Для получения истинной напряженности в данной точке надо выбирать 1 достаточно Ma.'JblM.

Величина И12/l представляет собой разность потенциа­

лов между концами линии поля, приходящаяся на единицу

длины линии поля, или, как еще принято говорить, напря­

жение на единицу длины линии поля. Мы видим, что на­ nряжеflность в каком-либо месте noля равна напряжению

на единицу длины линии поля.

С другой стороны, если эквипотенциальные поверхности

прочерчены через 1 В, ТО в формуле (23.1) И12=1 В и Е= = 1В/l, т. е. напряженность поля обратно пропорциональна

расстоянию между соседними эквипотенциальными поверх­

ностями. Другими словами, чем теснее расположены эквипо­ тенциальные поверхности, тем больше напряженность поля в данн.ом месте.

Из формулы (23.1) следует, что для поля, напряжен­

ность которого равна единице, нацряжение на единице

длины равно единице. В соответствии с этим единица на­ пряженности электрического поля в СИ получила назва­

ние волыn на метр (В/м).

Мы видим, что, зная разность потенциалов между лю­ быми двумя точками поля (или, как иногда говорят, зная

распределение потенциала поля), мы можем определить

в каждой точке поля и напряженность электрического поля. т. е. найти силы, действующие на заряды в этом поле.

5l

?23.1. Две параЛЛeJIьные плоские пластины, находящиеся на рас-

•стоянии 10 см друг от друга, заряжены до разности потенциалов

1000 В. Какая сила будет действовать на заряд, равный 0,1 мКл,

помещенный между пластинами?

23.2.Опыт показывает, что у поверхности Земли имеется электри­ ческое поле, направленное к Земле, напряженность которого

равна около 130 В/м. Какая сила действует на положительный ион водорода вблизи Земли и куда эта Сила направлена? Во сколько

раз она больше силы тяжести, действующей на ион? Масса атома

водорода равна 1,67·10-27 кг. Заряд электрона равен l,БОХ

Х 10-19 K'I.

Согласно формуле (21.1),

А= qИl2.'

где А - работа, совершаемая над зарядом q при его пере­

мещении из точки 1 в точку 2. Если заряд положителен,

то знак А совпадает со знаком И12' Работа А будет поло­

жительна, если сила, действующая на заряд, направлена

так же, как перемещение, т. е. от точки 1 к точке 2.

В случае положительного заряда q такое же направление

будет иметь и напряженность поля. С другой стороны, Ив будет положительна, если потенциал в точке 2 меньше,

чем в точке 1. Отсюда заключаем, что напряженность элек­

трического поля направлена в сторону убывания потен­

циала. Поэтому поле будет стремиться переместить поло­

жительный заряд в сторону убывания потенциала, а отри­ цательный заряд - в сторону возрастания потенциала.

Таким образом, при помощи разности потенциалов мож­

но охарактеризовать электрическое поле так же полно, как

и при помощи напряженности. График эквипотенциальных линий представляет собой такую же «электрическую кар­

ту», кш< И график линий поля. Зная один из этих графиков, можно, согласно сказанному в § 22, без труда построить другой график. Относительно густоты проведения экви­

потенциальных поверхностей можно повторить то же самое,

что сказано в § 17 относительно густоты линий поля. Если

известно распределение потенциалов в поле, то можно

очень просто разрешать важные задачи, относящиеся к

электрическому полю. Во многих случаях решение таких

задач с помощью распределения потенциалов проще, чем

спомощью линий поля.

В§ 25 мы увидим также, что разность потенциалов го­

раздо легче измерить на опыте, чем напряженность поля.

Поэтому описание поля при помощи разности потенциа­

лов - очень важный и полезный метод.

58

§ 24. Условия равновесия зарядов в проводниках. Рассмот­

рим условия равновесия зарядов в проводнике, восполь­

зовавшись понятием разности потенциалов. Как уже ука­

зывалось в § 16, при равновесии зарядов напряженность

поля в проводнике должна равняться ~улю (т. е. электри­

ческое поле в проводнике отсутствует). Но на основании

(23.1) это означает, что разность потенциалов .между лю­ быми точками nроводНll1Ш равна нулю. Это относится так­

же и ко всем точкам поверхности проводника. Следова­ тельно, поверхность провод­

ника является эквипотенци­

альной поверхностью.

Так как линии поля пер­

рованных проводника 1 и 2

(рис. 42), то поверхность каждого из них должна быть эк­

випотенциальной поверхностью. Но между поверхностя­

ми этих двух проводников может существовать разность

потенциалов. Что произойдет, если эти два проводника со­

единить металлической проволокой? Между концами этой

проволоки будет существовать разность потенциалов, рав­

ная разности потенциалов проводников. Следовательно,

вдоль проволоки будет действовать электрическое поле, и поэтому в ней начнется движение свободных электронов, переходящих в сторону возрастания потенциала (§ 23), ибо электроны имеют отрицательный заряд. Вместе с этим

движением начнется и перемещение электронов по провод­

никам 1 и 2, в результате которого имевшаяся вначале раз­

ность потенциалов между проводниками будет уменьшать­

ся. Движение электронов, т. е. электрический ток в провод­

никах и в соединяющей их проволоке, будет продолжаться

до тех пор, пока разность потенциалов между всеми точка­

ми этих проводников не станет равной нулю и поверхности

обоих проводников и проволоки между ними не сделаются одной эквипотенциальной поверхностью.

Наш земной шар в целом является проводником. По­ этому поверхность Земли есть также эквипотенциальная поверхность. При построении эквипотенциальных поверх­

ностей передко выбирают в качестве нулевой эквипотен-

59

циальную поверхность, совпадающую с поверхностью Зем­

ли, и иногда говорят вместо «разность потенциалов» просто

«потенциал» в данной точке. При этом имеют в виду ту раз­

ность потенциалов, которая существует между этой точкой

и какой-либо точкой поверхности Земли. Как уже было разъяснено в § 22, выбор поверхности Земли в качестве ну­ левой эквипотенциальной поверхности является условным.

?24.1. Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверх-

•настей и линий поля возле положительиого точечного заряда, по­ мещенного над земной поверхностью.

24.2.Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверх­

иостей и линий поля, возникающего между заряженным металли­

ческим шаром и стенами комнаты.

24.3. Изменитс:r ли электрическое поле, создаваемое зарядом, если 'этот заряд окружить тонкой незаряженной металлической поверхностью, совпадающей с одной из эквипотенциальных по­

верхностей?

§ 25. ЭлектромеТр. Посмотрим теперь, каким образом мож­

но измерить на опыте разность потенциалов. для этого рас­ смотрим прибор, изображенный на рис. 43. Он представля­

ет собой не что иное, как обычный электроскоп с листками, который, однако, имеет металлический корпус и измери­ тельную шкалу. Соединим корпус этого прибора с Землей

О)

Рис. 43. Электрометр: а) общий вид, К - зажим для присоединения

провода, соединяющего металлический корпус с Землей; б) условное изображение

и коснемся его стержня каким-либо заряженным телом. При этом часть заряда перейдет на стержень и листки ра­

зойдутся на HeKOTOpы~ угол. От чего зависит отклонение

листков?

При зарядке листков внутри прибора возникает электри­

ческое поле. Линии этого поля показаны на рис. 44 штри-

60

ховыми линиями, а его эквипотенциальные поверхности -

сплошными линиями. Поверхность металлического корпуса есть эквипотенциальная поверхность (§ 24); то же отно­

сится к поверхности стержня и листков; но, конечно, это -

две различные эквипотенциальные поверхности, между

которыми имеется некоторая разность потенциалов, со­

ответствующая полю внутри прибора. Между ними разме­

щаются другие эквипотенциальные поверхности. На рис.

44 мы прочертили их через одно и то же число линий поля.

Рис. 44. Электрическое поле внутри электроскопа с металлическим

корпусом: а) при большой разности потенциаJlОВ между листками

и корпусом; б) при малой разности Потенциалов между ними

Поэтому число изображенных на чертеже эквипотенциаль­ ных поверхностей за!!исит от разности потенциалов между

листками и корпусом. Если эта разность потенциалов ве­

лика, то эквипотенциальные поверхности расположены

очень густо, и поэтому падение потенциала на единицу

длины значительно; следовательно, согласно § 23, напря­ женность поля ВОКРУГ листков тоже велика. Если, наобо­

рот, разность потенциалов между листками и корпусом ма­

ла, то падение потенциала невелико и напряженность поля

возле листков мала.

Отклонение листков зависит от действующей на них си­

лы, т. е. в конечном счете от напряженности электрического

поля возле них. Чем больше разность потенциалов, тем

больше напряженность поля возле листков, тем больше и

их отклонение. Создава51 одну и ту же разность потенциа­

лов между листками и корпусом, мы будем наблюдать и одинаковые отклонения листков. Мы видим, что отклоне-

61

ние листков в данном npиборе зависит от разности потенциа­ лов между ними и корпусом при60ра. Снабдив при60Р шка­

лой, мы можем по отклонению листков судить о разности

потенциалов.

Приборы для измерения раЭНОСТИПDтенциалов назы­

ваются электрометрами. На рис. 45 показан один изти­ пов электрометра. Его можно проградуиравать, т. е. опре­

делить, какой разности потенциалов, выраженной в воль­

тах, соответствуют р.азличные углы отклонения листков,

и тогда по отклонению листков можно сразу же определить

аего корпус - с Землей. Через очень короткое время·

стержень электрометра окажется при том же потенциа-

ле, что и соединенный с

нимпроводник, а потен­

вершенно не меняется, т. е. что, согласно § 24, поверх­

ность проводника является эквипотенциальной поверх­

ностью, какую бы сложную форму она ни имела.

62

Можно, конечно, rt9ступать наоборот: соединить с Зем­

лей стерженьэлектрометра, а корпус его, тщательно изоли­

ровав (например, поставив на кусок парафина), соединить с изучаемым проводником (рис. 46).

Показания электрометра и в этом случае дают разность

потенциалов между его стержнем и корпусом, а следова­

тельно, разность потенциалов между ПРОБОДНИКОМ и Зем­

лей.

§ 26. В чем различие между электрометром и электроскопом?

Удалив металлический корпус электрометра или заменив его стеклянным колпаком, мы получим простой электро­ скоп (§ 1). При этом линии электрического поля, исходя­

щие от зарядов, будут, проходя через стекло, оканчивать­

ся на окружающих предметах, и роль корпуса будут играть

Рис. 47. Опыт с заряженным электроскопом: а) линии электрического

поля вокруг заряженного электроскопа в закрытом помещении; б) при

заземлении электроскопа электрическое поле вокруг него исчезает.

Для наглядности стеклянный баллон электроскопа не изображен

стены и потолок комнаты, тело экспериментатора и т. п.

(рис. 47). В этом случае расположение эквипотенциальных

поверхностей вокруг листков, а значит, и электрическое поле будут зависеть от положения этих предметов и при од­ ной и той же разности потенциалов могут быть весьма раз­

личными. Отклонение листков будет зависеть от случайного

расположения окружающих тел, и поэтому электроскоп

не пригоден для точного суждения о разности потенциалов.

Жесткий (не меняющий формы) металлический корпус

является принципиально необходимой частью электрометра, отличающей его от электроскопа.

'7 26.1. При поднесении к заряженному электроскопу неэаряжеННОГQ

• стекла отклонение листков уменьшается. Объясните это.