Landsberg-1985-T2

Общий заряд на всех конденсаторах

q= ql +q.+ .. ;+qn=(C1 +С2 +··· +Сп) и,

и, следовательно, емкость всей системы конденсаторов

(35.1 )

Итак, емкость группы nараллеЛЫiOсоедU1ieННЫХ конден.­ саторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

В случае последовательно соединеflНЫХ конденсаторов (рис. 62, б) одинаковы заряды на всех конденсаторах. Дей­

ствительно, если мы поместим, например, заряд +q на ле­

вую обкладку первого конденсатора, то вследствие индук­

ции на правой его обкладке возникнет заряд -q, а на левой

обкладке второго конденсатора - заряд +q *). Наличие

этого заряда на левой обкладке второго конденсатора опять­ таки вследствие индукции создает на правой его обкладке

заряд --q, а на левой обкладке третьего конденсатора­ заряд +q и т. д. Таким образом, заряд каждого из последо­

вательно соединенных конденсаторов равен q. Напряжение

же на каждом из этих конденсаторов определяется ем­

костью.,соответствующего конденсатора:

...,

где Cj - емкость одного конденсатора. Суммарное напря­ жение между крайними (свободными) обкладками всей

группы конденсаторов

и= и1 +и2 + ... + иn= q ( ~1+~2+ ." .+~n) .

Следовательно, емкость всей системы конденсаторов

определяется выражением

*) Конечно,' наше рассуждение остается правильным для КОНДен' саторов всех видов, как плоских, так и не плоских. В любом конденса.

торе все поле сосредоточено между его обкладками (например, между двумя обкладками цилиндрического конденсатора). Поэтому заряд, ин. дуцированный на второй обкладке, всегда равен по модулю и противо. положен по внаку заряду,.помещенному на первую обкладку•

84

Из этой формулы видно, что е.мкость группы послef!аватель­

но соединенных конденсаmoров всегда меньше емкости каж­

дого из этих конденсаторов в отдельности.

?35,1. Четыре одинаковых конденсатора соединены в одном случае

•параллельно, в другом - последовательно. В каком случае ем­ кость этой группы конденсаторов больше и во сколько раз?

35.2. Два конденсатора емкости 2 и 1 мкФ соединены последова·

тельно и присоединены к полюсам батареи с напряжение:'1 120 В.

Каково напряжение между обкладками первого и между обк.1ад­ ками второго конденсатора?

35.3. Какой заряд нужно сообщить батарее из двух лейденских банок емкости 0,0005 и 0,001 мкФ, соединенных параллельно, что· бы зарядить ее до напряжения 10 кВ?

35.4. Конденсатор, заряженный до напряжения 100 В, соединя­

ется с конденсатором такой же емкости, но заряженным до 200 В, параллельно (т. е. положительная обкладка - с положительной, отрицательная - с отрицателыIй)•. Какое установится напряже·

ние между обкладками?

35.5. Два заряженных металлических шара одинакового диаметра приводятся в соприкосновение. Один из шаров - полый. Поров­

ну ЛlI распределятся заряды lIа обоих шарах?

.§ 36. диэлектрическая проницаемость. Емкость конденса­

тора зависит, как показывает опыт, не только от размера,

формы и взаимного расположения составляющих его про­

водников, но также и от СВОЙСТВ диэлектрика, заполняю­

щего пространство между этими. проводниками. Влияние

п

11

11

11

"11

U

Рис. 63. Емкость конденсатора увеличинается при вдвигании эбони­

товой П,jlаСТИНКII между его обкладками. Листки электро:-.!етра спадают,

хотя заряд остается преЖI1ИМ

диэлектрика можно установить при по:vющи следующего

опыта. Зарядим плоский конденсатор и заметим показа­

ния электрОметра, измеряющего напряжение на конденса­

торе. Вдвинем затем в конденс:атор незаряженную эбони­ ТОВУЮ пластинку (рис. 63). МЫ увидим, что разность

85 .

потенциалов между обкладками заметно уменьшится. Если

удалить эбонит, то показания электром~тра делаются прежними. Это показывает, что при замене воздуха эбони­

том емкость конденсатора увеличивается. Взяв вместо эбо­

нита какой-нибудь иной диэлектрик, мы получим сходный

результат, но только изменение емкости конденсатора будет

иным. Если Со - емкость конденсатора, между обкладками

которого находится вакуум, а С - емкость того же конден-

. сатора, когда все пространство между обкладками запол-. нено, без воздушных зазоров, каким-либо диэлектриком, 'То емкость С окажется в е раз больше емкости СО, где е за­

висит лишь от природы диэлектрика..Таким образом, мож­

но написатЬ

(36.1)

Величина е называется относительной диэлектричес­

кой nроницае;,tOстыо или просто дuэлектрuЧ2СКОЙ npOHи~

цаемостью среды, которой заполнено пространство между

Сказанное справедливо не только для плоского конден­

сатора, но и для конденсатора любой формы: заменяя воз­

дух каким-либо диэлектриком, мы увеличиваем емкость

конденсатора в е раз.

*) Иногда говорят об абсолютной диэлектрической ПРОНИЩlемости

I!а' под которой подразумевают произведение относительной диэлектри­

ческой проницаемости на электрическую постоянную: 8а=880' Однако

вта величина физического СМЫСЛ,а не имеет, и мы ее рассматривать ие

86

Строго говоря, емкость конденсатора увеличивретс'я в е раз ТО,1ЬКО в том случае, если все линии поля, идущие от одной обкладки к другой,

проходят в данном диэлектрике. Это будет, например, у конденсатора,

который целико'.! погружен в какой-либо жидкий диэлектрик, налитый в большой сосуд. Однако если расстояние между оБК,1адками мало по

сравнению с их размерами, то можно считать, что достаточно заПО,1НИТЬ

ТО,1ЬКО пространство между обкладками, так как именно здесь практи­

чески сосредоточено электрическое поле конденсатора. Так, для плоского

конденсатора достаточно заполнить диэлектриком лишь пространство

между пластинами.

Помещая между обкладками вещество с большой диэлек~

трической проницаемостью, можно сильно увеличить eM~

свойствами. В противном

случае заряды будут утекать через диэлектрик. Поэтому

вода, несмотря на ее большую диэлектрическую прони-'

цаемость, совсем не годится для изготовления KOHдeHcaTO~

ров, ибо только исключительно тщательно очищенная во­

да является достаточно ХОрОJllИМ диэлектриком.

*) См. сноску на с. 81. В современной техиике обычно вместо

тонких ДИСТQВ олова применяют листы алюминия или других металлов.

Однако в силу привычки 11 эти листы нередко называют станиолем.

87

Если пространство между обкладками плоского конден­ сатора заполнено средой с диэлектрической проницаемостью В, то формула (34.1) для плоского конденсатора принимает

вид

(36.2)

То обстоятельство, что емкость конденсатора зависит от

окружающей среды, указывает, что электрическое поле

внутри диэлектриков изменяется. Мы видели, что при за­

полнении кондеf/сатора диэлектриком с диэлектрической

проницаемостью е емкость увеличивается в 8 раз. Это зна­

чит, что при тех же самых зарядах на обкладках разность потенциалов между ними уменьшается в в раз. Но разность

.потенциалов и напряженность поля связаны между собой

соотношением (30.1). Поэтому уменьшение разности потен­

циалов означает, что напряженность паля в конденсаторе

при его заполнении диэлектриком делается меньше в е раз.

.В этом и состоит причина увеличения емкости конденсатора. Если обозначить через Ео напряженность поля, создан­

ного любыми заряженными телами в некоторой точке в

вакууме, а через Е напряженность поля в этой же точке

в том случае, когда при тех же зарядах все пространство

заполнено диэлектриком c-диэ.1ектрическоЙ проницаемостью

В, то

(36.3)

Если два точечных заряда находятся в диэлектрике, то

напряженность поля каждого из зарядов в точке, где на­

ходится другой заряд, уменьшается также в 8 раз и, следо­

вательно, сила, действующая на каждый из зарядов, в в раз меньше, чем в вакууме. Отсюда заключаем, что закон Кулона (10.1) для точечных зарядов, помещенных в 'ди­

электрике, имеет вид *)

-4Л80 8{2 •

§37. Почему электрическое поле ослабляется внутри диэлектрика?

Поляризация диэлектрика. Чтобы понять, почему поле внутри диэлек­

трика меньше, чем в вакууме, нужно учесть, что все тела построены из

атомов и молекул. Атомы и молекулы в свою очередь состоят из поло­

жительных и отрицательных зарядов (атомных ядер и электронов), так

что ВСЯКИЙ-,ll,иэлектрик представляет собой собрание большого числа за­

ряженных частиц.

*) Это справедливо только для жидких и газообразных диэлектри­

ков. (Примеч. ред.)

~88

В молекулах эти положите.1ьные И отрицательные заряды нсреДIЮ

расположены так, что одна по.10вина молекулы имеет по преимуществу

положительный зарl:Щ, а другая - отрицательный: Такая молекула,

грубо говоря, имеет вид палочки или стрелки с противоположно заряжен­

ными концами (рис. 65). Такие молекулы часто называют диполямн

(двухполюсниками, от греческого слова <<ди» - два). Положительный

и отрицательный заряды в каждой молекуле одинаковы, и поэтому лю­

бая молекула в целом не заряжена.

Однако при помещении дипольных

молекул в электрическое поле на

каждую молекулу будут действо­

вать силы, стремящиеся установить

вотсутствие внешнего поля, моле-

кулы вещества ориентированы совершенно хаотически. В любой части

диэлектрика будут находиться одинаковые положительные и отрицаТе.'IЬ­

ные заряды в самом хаотическом расположении (рис. 66, а), и поэтому

результирующее действие этих зарядов будет равно нулю. Когда мы

помещаем диэ.1ектрик с дипольными молекулами в электрическое поле,

Е-о-

о) ~==-~~; -(~f~

~ ~ =" С:Р' С:Р' о'"<=lJ~~

Е-.

начен штриховкой

то под действием сил поля, стремящихея повернуть диполи, молекулы

поворачиваются так, чтобы их электрические оси установились по воз­

можности по линиям поля. Говоря «по возможности», мы имеем в виду

следующее. Действие электрического поля стремится установить упе­

рядоченное расположение молекул, выстроить их цепочками, как пока·

зано на рис. 66, б и в.

С другОй стороны, тепловое движение молекул (см. том 1) стремится

все время расстроить эту упорядоченность и восстановить хаотическое,

беспорядочное расположение молекул, показанное на рис. 66, а. Борьба между этими противоположно направленными факторами, из которых первый зависит от напряженности поля и индивидуальных свойств дан­ ного вещества, а второй определяется температурой, приводит К тому,

89

что в поле данной напряженности не все, а лишь большая или меньшая

часть молекул располагается своими осями близко к направлению поля.

Следствием этого упорядочения в расположеlJМИ молекул является

то, что на поверхности диэлектрика образуются равные по модулю, но противоположные по знаку электрические заряды. Эти заряды тем­ больше, чем более упорядочено расположение молекул. На рис. 66, в заряд на гра.ницах диэлектрика больше, чем на рис. 66, б. Диэлектрик лриобретает «э.1ектрические полюсы» или, как принято говорить, поля­ ризуется. Причина ослабления поля в диэлектрике и зак.1ючается в по­

ляризации ПОС.,еднего,

Действительно, представим себе ПJlОСКИЙ конденсатор, заподненный

диэ.'!ектриком (рис. 67), причем на левой обкладке 'имеется подожитель­

ный заряд, а на правой - отрицательный. Так как одноименные зарЯiIЫ отталкиваются, а разноимеНliые притягиваются, то, очевидно, у левой (положительной) обкладки возникает на поверхности диэлектрика ОТ­ рицательный ПО,'IяризаЦИОJlНЫЙ заряд, а у. правой обкладки - положи­

тельный. Таким образом, поле Ер, создаваемое поляризационными за­

рядами, направлено противоположно полю Ео, создаваемому зарядами на обк,'!адках, и потому ослабляет его. Результирующее поле в диэлек­

трике оказывается меньше, чем в отсутствие диэлектрика.

Мы рассматривали до сих пор только действие поля на диэлектрИl<,

ПРОЯВ,'Iяющееся в повороте молеку.1 и упорядочении их ориентации.

Кроме этого действия поля, в некоторых веществах возможно и смеще­

ние зарядов в пределах каждой молекулы или, как говорят, поляри­

зация каждой отдельной молекулы. Это действие лодя еще более

увеличивает поляризационные заряды,. вознИ!<ающие на поверхности

диэлектрика, и, следовате.1ЫICJ, приводит к еще большему ослабленню

резу .1ЬПlрующего поля.

О)

+Е:3::±:3Е3Е:3Е3С±3IЕ3Е:3

+G::3r±::3ll..3C±3E3[±3[E3[±::3

+ r:E:3~::::J Е:3 с±3 Е3 Е3 [Е3 ff:3

Рис. 68. При разделении поляризованного диэ.l1ектрика 'на две части

на поверхности каждой из них возникают поляризационные заряды противоположиых энаlШВ. По.~яризация диэлеКТРИК;J: а) до Р;Jзде.'lе· иия; 6) после р 1зде.'Iеиия

Поляризация диэдектриков напоминает собой эл~тризацию через В.1ияние (§ 8). Однако между этими явдениями существует и раздичие. )'v\ы видели, что электризация проводников посредством влияния объяс­

няется переМjOщением свободных электронов, которые в проводниках

могут передвигаться по всему объему проводника. Разъединяя в элек­

трическом поле проводник на две части, мы можем отдеюпь ИНДУЦИРО­

ванныезаряды, и обе половины проводника останутся заряженными даже

после устранения поля, вызвавшего эти заряды. В противоположность

этому, внутри диэлектрика электрические заряды не могут своБОДliO

перемещаться, а могут ·.только смещаться в пределах своей молекулы.

90

Поэтому, если разделить поляризованный диэлектрик в электрическом поле на две части, то каждая часть будет состоять по-прежнему из неза­

ряженных в целом молекул, и полный ее заряд тоже будет равен нулю.

На поверхности каждой из частей заряды, однако, будут, и притом на одном конце положительные~ а на другом - отрицательные (рис. 68).

Это и понятно, так как к каждой части можно применить те же рассуж-~

дения, что и д.nя целого куска диэлектрика. При устранении внешнего поля заряды внутри молекул под действием теплового движения возвра­

щаются в исходное неупорядоченное расположение, и поляризацион­

ные заряды исчезают. Мы видим, что поляризационные заряды, в отли­ чие от индуцированных, не могут быть отделены друг от друга. Поэтому

поляризационные заряды часто называются еще связанными зарядами.

§ 38. Энергия заряженных тел. Энергия электрического поля.

Для того чтобы зарядить конденсатор, т. е. создать некото­

рую разность потенциалов между двумя телами - обклад­ ками конденсатора, нужно затратить некоторую работу.

Это связано с тем, что процесс зарядки тела, как мы гово­ рили в § 5, означает всегда разделение зарядов, т. е. созда­

ние на одном теле избытка зарядов одного знака, а на дру­

гом теле - другого знака. При этом приходится преодоле­

вать с,Илы притяжения друг к другу положительных lf

отрицательных зарядов, т. е. затрачивать работу. Когда

конденсатор разряжается, т. е. ранее разделенные заряды

воссоединяются, то такую же работу совершают электри­ ческие силы. Таким образом, заряженный конденсатор об­ ладает запасом потенциальной энергии, равным той работе,

которая была затрачена на его зарядку.

Рис. 69. При раздвигании на расстояние d пластин плоского конденсатора с заря· дами +q и -q, напряженность поля в котором равна Е, затрачивается работа

A=Eqd/2

Мы можем выр.азить. эти факты иначе. Заряжая .конден­

сатор, мы создаем в нем электрическое поле; при разрядке

конденсатора это поле исчезает. Затраченная нами работа

пошла на создание поля, а работа, совершаемая при раз­

рядке конденсатора, получается за счет исчезновения этого

поля. Можно сказать, следовательно, что всякое поле об­

ладает некоторы.М 'запасом потенциальной энергии, осво­

бождаеJЮЙ при исчезновении этого поля.

Для наиболее. простого случая плоского конденсатора (рис. 69) эту

работу нетрудно вычислить. До тех пор, пока расстояние d между пла­

стинами мало по сравнению с размерами пластин, напряжениость поля

~ в плоском конденсаторе не зависит от расстояния d, Действительно,

91

в плоском кондеисаторе 'поле однородно и его напряженность Е= U/d. Но разность потенuиалов между пластинами конденсатора U=q/C, а

емкость C=eoS/d (предполагаем, что между пластиюiми - вакуум,

S - площадь пластин). Таким образом,

(38.1)

т. е. при постоянных q и S напряженность поля Е не зависит от d, так как при изменении d изменяется также и.

Сила, с которой притягиваются друг к другу две противоположно заряженные пластины конденсатора, зависит от заряда q на каждой из пластин и от напряженности поля Е. Так как при изменении d не нз­ меняются ни q, ни Е, то неизменной остается и сила притяжения Р.

Поэтому работа, которую нужно затратить, чтобы раздвинуть пластины от нулевого расстояния между ними до расстояния d, равна A=Fd. Но раздвиженне пластин означает зарядку конденсатора, у которого рас­

стояние между пластинами равно d. Действительно, когда расстояние

между пластинами равно нулю, т. е. пластины сложены вместе, то их

заряды +q и -q образуют компенсированный двойной СЛОй, и система не заряжена. Раньше (§ 7) мы уже подробно рассматривали появление электрических зарядов на двух телах как раздвижение двойного слоя

электрических зарядов.

Запас энергии W, которым обладает заряженный конденсатор, равен

работе A=Fd, которая была затрачена на его зарядку: W=A .. Чтобы вычислить эту работу, нам остается только определить силу Р. ДЛЯ этого

воспользуемся напряженностью поля Е в конденсаторе. Можно рассма­

тривать Е как результирующую двух 'равных напряженностей Е! и

Е2, из которых одна обусловлена положительным зарядом +q на одной

пластине (на верхней пластине), а другая - отриuательным зарядом -q на другой (нижней) пластине (рис. 69). Ясно, что обе эти напряжен­

ности направлены в 'одну И ту же сторону, так что Е=Е1+Е2• Так как E1=E 2 (потому что обе пластииы конденсатора и их заряды симметриtl­

ны), то E1=E2=E/2. Сил/! взаимодействия между пластинами р­

это сила, с которой поле напряженности Ef, вызванное зарядом +q

на верхней пластине, действует на заряд -q нижней пластины и тянет его вверх. Но, с другой стороны, F равно силе, с которой поле на­ пряженности Е2, вызванное зарядом -q на нижней пластине, действует

на заряд +q верхней пластины и тянет ее книзу.

Таким .образом,

(38.2)

т. е.

(38.3)

а так как

U

Е =([1

то

92