2. Электрическое поле в кабеле

Для расчета электрического поля в кабеле применим теорему Остроградского – Гаусса, которая в интегральной форме имеет вид

(2.1)

т.е. поток (N) вектора электрического смещения (D) через замкнутую поверхность (S) равен сумме зарядов (q), расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Теорема Остроградского – Гаусса связывает значения вектора электрического смещения в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой поверхностью. Можно придать этой теореме такую форму, чтобы в нее входили величины, относящиеся к одной и той же точке поля.

Введем прямоугольную систему координат x, y, z (рис. 2.1) и обозначим вектор электрического смещения в некоторой точке a(x, y, z) через

D (D_x, D_y, D_z). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с вершиной в точке a и ребрами dx, dy, dz. Поток через плоскость dydz (заштрихована), проходящую через точку a, есть –(знак минус поставлен потому, что внешняя нормаль к плоскостиdydz и положительное направление вектора D_x составляют угол  =  и cos  = –1).

Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль оси x на dx, есть

Поток через обе грани

Рис. 2.1. Элементарный объем

где – объем параллелепипеда.

Вычисляя аналогичным образом потоки через другие две пары граней и складывая их, мы получаем полный поток через всю поверхность параллелепипеда:

(2.2)

Если в рассматриваемом пространстве имеется распределенный в объеме заряд с объемной плотностью , то величина заряда, содержащегося в объеме параллелепипеда, равна dV. Приравняв поток вектора D к заряду, получим

или (2.3)

Это соотношение, выражающее теорему Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона – div D = = , где

(2.4)

Предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность S к величине объема V, ограниченного поверхностью S, при V  0 называется расхождением или дивергенцией вектора.

Используя выражение , получим

(2.5)

Если диэлектрическая проницаемость не зависит от координат (, то уравнение Пуассона примет вид

(2.6)

Нам предстоит решать общую задачу электростатики, т.е. по заданной форме проводников, их расположению и значению их потенциалов находить значение потенциалов в любой точке между проводниками. Математически эта задача сводится к следующему. Составляющие напряженности поля E по координатам можно выразить через потенциал:

или ,,(2.7)

Подставив эти значения в уравнение Пуассона, получим

(2.8)

В изоляции кабелей нет свободных зарядов, поэтому

или . (2.9)

Это уравнение называется уравнением Лапласа.

2.1. Распределение напряженности электрического поля и напряжения по толщине изоляции в кабеле переменного тока

Рассмотрим простейший случай. На рис. 2.2 изображен кабель с токопроводящей жилой радиусомr₁ , радиусом по изоляции r₂ ; между r₂ и r₁ находится изоляция. Напряжение U₀ приложено между жилой и экраном, который находится на изоляции. Изоляция однородна (, объемные заряды отсутствуют ( = 0). Необходимо найти распределение напряжения U и напряженности E электрического поля между жилой и экраном. Воспользуемся уравнением Лапласа в цилиндрической системе координат:

Рис. 2.2. Распределение напря- женности электрического поля в изоляции кабеля

(2.10)

Напряжение по углу  не изменяется, поэтому

Вдоль кабеля по оси z напряжение также не изменяется, поэтому

Следовательно, уравнение (2.10) примет вид

(2.11)

Уравнение (2.11) справедливо в случае, если равно постоянной величинеА:

(2.12)

Разделим переменные и проинтегрируем:

Выразим А:

(2.13)

Подставим А в выражение (2.12):

(2.14)

Преобразуем это выражение:

с учетом

окончательно получим

(2.15)

Из уравнения (2.15) следует, что напряженность электрического поля изменяется по гиперболическому закону, причем (из условия r₁ < r₂) максимальная напряженность будет на жиле (см. рис. 2.2):

(2.16)

а минимальная напряженность – на изоляции:

(2.17)

Возьмем выражение (2.14):

разделим переменные:

интегрируем:

Рис. 2.3. Распределение напряжения в изоляции кабеля

Окончательно получаем

(2.18)

Из формулы (2.18) видно, что напряжение в изоляции кабеля изменяется по логарифмическому закону (рис. 2.3).